Номер 272, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

272 Найдите множество решений неравенства $(x + 3)^2(x - 2) < 0$.

1) $(-\infty; 2)$;

2) $(-3; 2)$;

3) $(-\infty; -3) \cup (-3; 2)$;

4) $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Для решения неравенства $(x + 3)^2(x - 2) < 0$ применим метод интервалов.

1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 3)^2(x - 2)$, решив уравнение $f(x) = 0$:
$(x + 3)^2(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$. Это корень кратности 2 (чётной), так как множитель $(x+3)$ возведён в квадрат.
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$. Это корень кратности 1 (нечётной).

2. Отметим на числовой оси найденные корни. Так как неравенство строгое ($<0$), точки $x=-3$ и $x=2$ не входят в решение (они будут "выколотыми"). Корни разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3. Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале. Для этого достаточно проверить знак в одном из интервалов, а затем учесть кратность корней при переходе через них.
Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(2; +\infty)$, например, $x=10$:
$f(10) = (10 + 3)^2(10 - 2) = 13^2 \cdot 8 > 0$. Значит, в этом интервале функция положительна (+).
Двигаясь справа налево по числовой оси:
- При переходе через корень $x=2$ (нечётная кратность 1) знак функции меняется. В интервале $(-3; 2)$ знак будет «−».
- При переходе через корень $x=-3$ (чётная кратность 2) знак функции не меняется. В интервале $(-\infty; -3)$ знак остаётся «−».

4. Выберем интервалы, которые удовлетворяют условию неравенства $f(x) < 0$. Это интервалы, где функция имеет знак «−»:
$(-\infty; -3)$ и $(-3; 2)$.

Объединив эти интервалы, получим итоговое множество решений: $(-\infty; -3) \cup (-3; 2)$.
Данное множество соответствует варианту ответа