Номер 268, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

268 Решите неравенство $\frac{16 - x^2}{x^2 + 4} \ge 0.$

1) $-4 < x < 4;$

2) $x \le -4$ и $x \ge 4;$

3) $-4 \le x \le 4;$

4) $-4 \le x < 2$ и $2 < x \le 4.$

Чтобы решить неравенство $\frac{16 - x^2}{x^2 + 4} \ge 0$, проанализируем числитель и знаменатель дроби.

Знаменатель дроби, $x^2 + 4$, всегда положителен при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно, $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому область определения неравенства — все действительные числа.

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$16 - x^2 \ge 0$

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $16 - x^2 = 0$.

$x^2 = 16$

$x_1 = -4$, $x_2 = 4$

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$.

Выражение $16 - x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Следовательно, оно принимает положительные значения между корнями и отрицательные значения за пределами корней.

• На интервале $(-4, 4)$ выражение $16 - x^2$ положительно.
• На интервалах $(-\infty, -4)$ и $(4, \infty)$ выражение $16 - x^2$ отрицательно.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), мы включаем точки, в которых числитель равен нулю, то есть $x = -4$ и $x = 4$.

Объединяя интервал, где выражение положительно, и точки, где оно равно нулю, получаем решение:

$-4 \le x \le 4$

Это соответствует отрезку $[-4; 4]$.

Ответ: $-4 \le x \le 4$.