Номер 270, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

270 Найдите множество решений неравенства $\frac{2x - 14}{x^2 + 8x + 15} \le 0$.

1) $(-\infty; -5) \cup (-3; 7]$

2) $(-\infty; -5] \cup [-3; 7]$

3) $(-5; -3)$

4) $(-5; -3) \cup [7; +\infty)$

Для решения данного рационального неравенства $\frac{2x - 14}{x^2 + 8x + 15} \le 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + 8x + 15 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 15$

Подбором находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, область допустимых значений: $x \ne -5$ и $x \ne -3$.

2. Нахождение нулей числителя

Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение может равняться нулю.

$2x - 14 = 0$

$2x = 14$

$x = 7$

3. Применение метода интервалов

Теперь мы можем переписать неравенство, разложив знаменатель на множители:

$\frac{2(x - 7)}{(x + 5)(x + 3)} \le 0$

Нанесем на числовую ось нули числителя и знаменателя: $-5, -3, 7$.

Точки $x = -5$ и $x = -3$ (нули знаменателя) будут выколотыми (пустыми), так как они не входят в ОДЗ.

Точка $x = 7$ (нуль числителя) будет закрашенной (сплошной), так как неравенство нестрогое (знак $\le$).

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; 7]$ и $[7; +\infty)$. Определим знак левой части неравенства в каждом из этих интервалов, подставив любое значение из интервала.

• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x = -10$. Выражение $\frac{2(-10 - 7)}{(-10 + 5)(-10 + 3)} = \frac{(-)}{(-)(-)}$ имеет знак минус.
• Интервал $(-5; -3)$: возьмем $x = -4$. Выражение $\frac{2(-4 - 7)}{(-4 + 5)(-4 + 3)} = \frac{(-)}{(+)(-)}$ имеет знак плюс.
• Интервал $(-3; 7]$: возьмем $x = 0$. Выражение $\frac{2(0 - 7)}{(0 + 5)(0 + 3)} = \frac{(-)}{(+)(+)}$ имеет знак минус.
• Интервал $[7; +\infty)$: возьмем $x = 10$. Выражение $\frac{2(10 - 7)}{(10 + 5)(10 + 3)} = \frac{(+)}{(+)(+)}$ имеет знак плюс.

4. Определение множества решений

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Согласно анализу знаков, это происходит на интервалах, где выражение отрицательно, а также в точке, где оно равно нулю.

Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty; -5)$ и $(-3; 7]$.

Множество решений: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; 7]$.

Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует номеру 1.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-3; 7]$.