Номер 263, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

263 Решите неравенство $(x - 2)(x + 3)(8x - 2) < 0$.

1) $x < 3$ и $2 < x < 4$;

2) $x < -3$ и $\frac{1}{4} < x < 2$;

3) $x < -2$ и $\frac{1}{4} < x < 3$;

4) $-3 < x < 0,25$ и $x > 2$.

Для решения неравенства $(x - 2)(x + 3)(8x - 2) < 0$ используется метод интервалов.

1. Находим нули функции

Приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак:

$(x - 2)(x + 3)(8x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Решим три простых уравнения:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

$8x - 2 = 0 \implies 8x = 2 \implies x_3 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2. Анализируем интервалы

Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-3$, $\frac{1}{4}$ и $2$. Эти точки разделяют ось на четыре интервала. Так как неравенство строгое ($<0$), точки на оси будут выколотыми.

Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}; 2)$, $(2; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(x - 2)(x + 3)(8x - 2)$ на каждом из этих интервалов. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого интервала:

• Для интервала $(2; +\infty)$ возьмем $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 3)(8 \cdot 3 - 2) = 1 \cdot 6 \cdot 22 = 132$. Знак +.
• Для интервала $(\frac{1}{4}; 2)$ возьмем $x = 1$: $(1 - 2)(1 + 3)(8 \cdot 1 - 2) = -1 \cdot 4 \cdot 6 = -24$. Знак -.
• Для интервала $(-3; \frac{1}{4})$ возьмем $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 3)(8 \cdot 0 - 2) = -2 \cdot 3 \cdot (-2) = 12$. Знак +.
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем $x = -4$: $(-4 - 2)(-4 + 3)(8 \cdot (-4) - 2) = -6 \cdot (-1) \cdot (-34) = -204$. Знак -.

3. Формируем ответ

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть имело знак «-». Это соответствует интервалам $(-\infty; -3)$ и $(\frac{1}{4}; 2)$.

Запишем это в виде системы неравенств: $x < -3$ и $\frac{1}{4} < x < 2$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту 2.

Ответ: 2) $x < -3$ и $\frac{1}{4} < x < 2$.