Номер 267, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

267 Решите неравенство $\frac{-54}{x^2 - 49} \le 0$.

1) $-7 < x < 7$;

2) $-7 \le x \le 7$;

3) $x < -7$ и $x > 7$;

4) $x > 7$.

Данное неравенство имеет вид $\frac{-54}{x^2 - 49} \le 0$.

Поскольку числитель дроби, $-54$, является постоянным отрицательным числом, то для того, чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго больше нуля.

Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому $x^2 - 49 \neq 0$.

Если бы знаменатель был отрицательным, то дробь (частное двух отрицательных чисел) была бы положительной, что не удовлетворяет условию неравенства.

Следовательно, исходное неравенство равносильно строгому неравенству: $x^2 - 49 > 0$

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x - 7)(x + 7) > 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Найдем нули выражения в левой части, решив уравнение: $(x - 7)(x + 7) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разобьют ее на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 7)(x + 7)$ на каждом из интервалов.

• На интервале $(-\infty; -7)$ (например, при $x = -10$): $(-10 - 7)(-10 + 7) = (-17)(-3) = 51 > 0$. Знак "+".
• На интервале $(-7; 7)$ (например, при $x = 0$): $(0 - 7)(0 + 7) = (-7)(7) = -49 < 0$. Знак "−".
• На интервале $(7; +\infty)$ (например, при $x = 10$): $(10 - 7)(10 + 7) = (3)(17) = 51 > 0$. Знак "+".

Так как мы решаем неравенство $(x - 7)(x + 7) > 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+".

Решением являются объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(7; +\infty)$. В виде неравенства это записывается как $x < -7$ или $x > 7$.

Среди предложенных вариантов ответа этому решению соответствует вариант 3).

Ответ: 3) $x < -7$ и $x > 7$;