Номер 274, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

274 Решите неравенство:

a) $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1} \le 0. $

б) $ \frac{x^2 - 5x - 6}{6 - x} \le 0. $

а) $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1} \le 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$ x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1 $.

2. Найдем нули числителя. Для этого решим квадратное уравнение:
$ x^2 - 7x + 6 = 0 $.
Используя теорему Виета, находим корни:
$ x_1 + x_2 = 7 $
$ x_1 \cdot x_2 = 6 $
Отсюда $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $.

3. Разложим числитель на множители, используя найденные корни:
$ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) $.

4. Подставим разложение в исходное неравенство:
$ \frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 1} \le 0 $.

5. Учитывая ОДЗ ($ x \ne 1 $), мы можем сократить дробь на множитель $ (x - 1) $. Неравенство принимает вид:
$ x - 6 \le 0 $.

6. Решаем полученное простое линейное неравенство:
$ x \le 6 $.

7. Теперь необходимо совместить полученное решение с ОДЗ. Мы имеем $ x \le 6 $ и $ x \ne 1 $. Исключаем точку 1 из решения.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; 6] $.

б) $ \frac{x^2 - 5x - 6}{6 - x} \le 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$ 6 - x \ne 0 \implies x \ne 6 $.

2. Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение:
$ x^2 - 5x - 6 = 0 $.
Используя теорему Виета, находим корни:
$ x_1 + x_2 = 5 $
$ x_1 \cdot x_2 = -6 $
Отсюда $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -1 $.

3. Разложим числитель на множители:
$ x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) $.

4. Подставим разложение в неравенство:
$ \frac{(x - 6)(x + 1)}{6 - x} \le 0 $.

5. Для удобства преобразуем знаменатель, вынеся за скобки -1: $ 6 - x = -(x - 6) $.
Неравенство примет вид:
$ \frac{(x - 6)(x + 1)}{-(x - 6)} \le 0 $.

6. Согласно ОДЗ, $ x \ne 6 $, поэтому мы можем сократить дробь на $ (x - 6) $:
$ \frac{x + 1}{-1} \le 0 $.

7. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$ x + 1 \ge 0 $.

8. Решим полученное неравенство:
$ x \ge -1 $.

9. Совместим решение с ОДЗ: $ x \ge -1 $ и $ x \ne 6 $. Это означает, что из промежутка $ [-1; \infty) $ нужно исключить точку 6.

Ответ: $ x \in [-1; 6) \cup (6; \infty) $.