Номер 277, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

277 a) Найдите область определения функции $y = \sqrt{5x} + 1$.

б) Найдите область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{5x} - 2}$.

а)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $y = \sqrt{5x} + 1$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Слагаемое $+1$ не накладывает никаких ограничений на область определения.

Составим и решим неравенство:

$5x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, которые больше или равны нулю. В виде числового промежутка это записывается как $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

б)

В функции $y = \frac{1}{\sqrt{5x} - 2}$ есть два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{5x} - 2 \neq 0$.

Объединим эти условия в систему:

$\begin{cases} 5x \ge 0 \\ \sqrt{5x} - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$5x \ge 0$

$x \ge 0$

Решим второе условие (неравенство):

$\sqrt{5x} - 2 \neq 0$

$\sqrt{5x} \neq 2$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x})^2 \neq 2^2$

$5x \neq 4$

$x \neq \frac{4}{5}$

Итак, мы получили, что $x$ должен быть больше или равен нулю, но при этом не должен быть равен $\frac{4}{5}$. Исключаем точку $x = \frac{4}{5}$ из промежутка $[0, +\infty)$. В результате получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $[0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, +\infty)$.