Номер 273, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

273. Решите неравенство:

а) $\frac{x^2}{x - 2} \ge 0;$

б) $\frac{x - 3}{x^2 + 6x + 9} \le 0;$

в) $\frac{x + 2}{(x - 4)^2} \ge 0;$

г) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \le 0.$

а) $\frac{x^2}{x-2} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Это корень четной кратности (второй степени), поэтому при переходе через точку $x=0$ знак выражения меняться не будет.
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
3. Отметим найденные точки на числовой оси. Точку $x=0$ отмечаем закрашенной (так как неравенство нестрогое и $x=0$ обращает числитель в ноль), а точку $x=2$ — выколотой (так как она не входит в ОДЗ).
4. Определим знак выражения на каждом из получившихся интервалов: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- В интервале $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$: $\frac{3^2}{3-2} = \frac{9}{1} = 9 > 0$. Ставим знак «+».
- В интервале $(0, 2)$ возьмем $x=1$: $\frac{1^2}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1 < 0$. Ставим знак «-».
- В интервале $(-\infty, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{(-1)^2}{-1-2} = \frac{1}{-3} < 0$. Ставим знак «-».
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервал со знаком «+» и точка, где выражение равно нулю.
Выражение равно нулю при $x=0$.
Выражение больше нуля при $x \in (2, +\infty)$.
Объединяя эти решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in \{0\} \cup (2, +\infty)$

б) $\frac{x-3}{x^2 + 6x + 9} \le 0$

1. Упростим знаменатель. Заметим, что $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{x-3}{(x+3)^2} \le 0$.
2. Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $(x+3)^2 \neq 0$, что означает $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
3. Знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен для всех $x$ из ОДЗ. Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x-3 \le 0 \\ x \neq -3 \end{cases}$
4. Решаем простое неравенство $x-3 \le 0$, получаем $x \le 3$.
5. Учитываем ограничение из ОДЗ ($x \neq -3$). Таким образом, решением является множество всех чисел, которые меньше или равны 3, за исключением -3.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3]$

в) $\frac{x+2}{(x-4)^2} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $(x-4)^2 \neq 0$, что означает $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.
2. Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен для всех $x$ из ОДЗ. Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя.
Исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$
3. Решаем неравенство $x+2 \ge 0$, получаем $x \ge -2$.
4. Учитываем ограничение из ОДЗ ($x \neq 4$). Решением является множество всех чисел, которые больше или равны -2, за исключением 4.

Ответ: $x \in [-2, 4) \cup (4, +\infty)$

г) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \le 0$

1. Упростим числитель. Заметим, что $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x-1)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)^2}{x} \le 0$.
2. Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$.
3. Числитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен (то есть $(x-1)^2 \ge 0$) для любого $x$.
Неравенство $\frac{(x-1)^2}{x} \le 0$ выполняется в двух случаях:
- Когда дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю: $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, $x=1$ является решением.
- Когда дробь строго меньше нуля. Так как числитель $(x-1)^2$ положителен при $x \neq 1$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным: $x < 0$.
4. Объединяем оба случая: $x < 0$ или $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$