Страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

266 Укажите геометрическую модель решения неравенства

$(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) < 0.$

1) $\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\circ\text{------------}\to x$

$\quad\quad\quad\quad\quad -9 \quad\quad\quad \frac{1}{3} \quad\quad\quad \frac{1}{2}$

2) $\text{----------------}\circ\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\to x$

$\quad\quad\quad -\frac{1}{2} \quad\quad\quad -\frac{1}{3} \quad\quad\quad 9$

3) $\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\to x$

$\quad\quad\quad\quad\quad -9 \quad\quad\quad 2 \quad\quad\quad 3$

4) $\text{----------------}\circ\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\to x$

$\quad\quad\quad\quad\quad -9 \quad\quad\quad \frac{1}{3} \quad\quad 0,5$

Для решения неравенства $(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни:

• $2x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
• $4 - 12x = 0 \implies 12x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
• $x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Далее, отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: $-9$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$. Так как неравенство строгое (знак «<»), все точки на оси будут выколотыми. Эти точки делят ось на четыре интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $f(x) = (2x - 1)(4 - 12x)(x + 9)$ в каждом из интервалов. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого промежутка и подставим в исходное выражение:

• При $x=1$ (из интервала $(\frac{1}{2}, +\infty)$): $(2 \cdot 1 - 1)(4 - 12 \cdot 1)(1 + 9) = 1 \cdot (-8) \cdot 10 = -80 < 0$. Знак на интервале «-».
• При $x=0.4$ (из интервала $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$): $(2 \cdot 0.4 - 1)(4 - 12 \cdot 0.4)(0.4 + 9) = (0.8 - 1)(4 - 4.8)(9.4) = (-0.2)(-0.8)(9.4) > 0$. Знак на интервале «+».
• При $x=0$ (из интервала $(-9, \frac{1}{3})$): $(2 \cdot 0 - 1)(4 - 12 \cdot 0)(0 + 9) = (-1) \cdot 4 \cdot 9 = -36 < 0$. Знак на интервале «-».
• При $x=-10$ (из интервала $(-\infty, -9)$): $(2 \cdot (-10) - 1)(4 - 12 \cdot (-10))(-10 + 9) = (-21)(124)(-1) > 0$. Знак на интервале «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак «-». Это интервалы $(-9, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-9, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Сравнивая это решение с предложенными на рисунке моделями, видим, что оно соответствует модели под номером 4, где отмечены точки $-9$, $\frac{1}{3}$ и $0.5$ (что равно $\frac{1}{2}$) и заштрихованы интервалы $(-9, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: 4

267 Решите неравенство $\frac{-54}{x^2 - 49} \le 0$.

1) $-7 < x < 7$;

2) $-7 \le x \le 7$;

3) $x < -7$ и $x > 7$;

4) $x > 7$.

Данное неравенство имеет вид $\frac{-54}{x^2 - 49} \le 0$.

Поскольку числитель дроби, $-54$, является постоянным отрицательным числом, то для того, чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго больше нуля.

Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому $x^2 - 49 \neq 0$.

Если бы знаменатель был отрицательным, то дробь (частное двух отрицательных чисел) была бы положительной, что не удовлетворяет условию неравенства.

Следовательно, исходное неравенство равносильно строгому неравенству: $x^2 - 49 > 0$

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x - 7)(x + 7) > 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Найдем нули выражения в левой части, решив уравнение: $(x - 7)(x + 7) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разобьют ее на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 7)(x + 7)$ на каждом из интервалов.

• На интервале $(-\infty; -7)$ (например, при $x = -10$): $(-10 - 7)(-10 + 7) = (-17)(-3) = 51 > 0$. Знак "+".
• На интервале $(-7; 7)$ (например, при $x = 0$): $(0 - 7)(0 + 7) = (-7)(7) = -49 < 0$. Знак "−".
• На интервале $(7; +\infty)$ (например, при $x = 10$): $(10 - 7)(10 + 7) = (3)(17) = 51 > 0$. Знак "+".

Так как мы решаем неравенство $(x - 7)(x + 7) > 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+".

Решением являются объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(7; +\infty)$. В виде неравенства это записывается как $x < -7$ или $x > 7$.

Среди предложенных вариантов ответа этому решению соответствует вариант 3).

Ответ: 3) $x < -7$ и $x > 7$;

268 Решите неравенство $\frac{16 - x^2}{x^2 + 4} \ge 0.$

1) $-4 < x < 4;$

2) $x \le -4$ и $x \ge 4;$

3) $-4 \le x \le 4;$

4) $-4 \le x < 2$ и $2 < x \le 4.$

Чтобы решить неравенство $\frac{16 - x^2}{x^2 + 4} \ge 0$, проанализируем числитель и знаменатель дроби.

Знаменатель дроби, $x^2 + 4$, всегда положителен при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно, $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому область определения неравенства — все действительные числа.

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$16 - x^2 \ge 0$

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $16 - x^2 = 0$.

$x^2 = 16$

$x_1 = -4$, $x_2 = 4$

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$.

Выражение $16 - x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Следовательно, оно принимает положительные значения между корнями и отрицательные значения за пределами корней.

• На интервале $(-4, 4)$ выражение $16 - x^2$ положительно.
• На интервалах $(-\infty, -4)$ и $(4, \infty)$ выражение $16 - x^2$ отрицательно.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), мы включаем точки, в которых числитель равен нулю, то есть $x = -4$ и $x = 4$.

Объединяя интервал, где выражение положительно, и точки, где оно равно нулю, получаем решение:

$-4 \le x \le 4$

Это соответствует отрезку $[-4; 4]$.

Ответ: $-4 \le x \le 4$.

269 Найдите множество решений неравенства $ \frac{x^2 - 7x + 12}{3x + 15} > 0 $.

1) $ [-5; 3] \cup [4; +\infty); $

2) $ (-5; 3) \cup (4; +\infty); $

3) $ (-\infty; -5) \cup (3; 4); $

4) $ (-\infty; -5) \cup (4; +\infty). $

Для решения данного дробно-рационального неравенства $\frac{x^2 - 7x + 12}{3x + 15} > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$3x + 15 \neq 0$
$3x \neq -15$
$x \neq -5$

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Приравняем числитель к нулю, чтобы найти его корни:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2} = 4$
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2} = 3$
Теперь приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти его корень:
$3x + 15 = 0$
$x = -5$

3. Применим метод интервалов.
Отметим найденные точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут "выколотыми" (не будут входить в решение).
Точки, которые делят прямую на интервалы: -5, 3, 4.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{(x-3)(x-4)}{3(x+5)}$ на каждом из полученных интервалов.

 - + - +---o--------o--------o--------> -5 3 4 x 

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$
• При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(+)(-)}{(+)} = -$
• При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(+)} = +$
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = -$

4. Выбор решения.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "+".
Это интервалы $(-5; 3)$ и $(4; +\infty)$.
Объединяя эти интервалы, получаем множество решений: $x \in (-5; 3) \cup (4; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $(-5; 3) \cup (4; +\infty)$

270 Найдите множество решений неравенства $\frac{2x - 14}{x^2 + 8x + 15} \le 0$.

1) $(-\infty; -5) \cup (-3; 7]$

2) $(-\infty; -5] \cup [-3; 7]$

3) $(-5; -3)$

4) $(-5; -3) \cup [7; +\infty)$

Для решения данного рационального неравенства $\frac{2x - 14}{x^2 + 8x + 15} \le 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + 8x + 15 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 15$

Подбором находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, область допустимых значений: $x \ne -5$ и $x \ne -3$.

2. Нахождение нулей числителя

Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение может равняться нулю.

$2x - 14 = 0$

$2x = 14$

$x = 7$

3. Применение метода интервалов

Теперь мы можем переписать неравенство, разложив знаменатель на множители:

$\frac{2(x - 7)}{(x + 5)(x + 3)} \le 0$

Нанесем на числовую ось нули числителя и знаменателя: $-5, -3, 7$.

Точки $x = -5$ и $x = -3$ (нули знаменателя) будут выколотыми (пустыми), так как они не входят в ОДЗ.

Точка $x = 7$ (нуль числителя) будет закрашенной (сплошной), так как неравенство нестрогое (знак $\le$).

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; 7]$ и $[7; +\infty)$. Определим знак левой части неравенства в каждом из этих интервалов, подставив любое значение из интервала.

• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x = -10$. Выражение $\frac{2(-10 - 7)}{(-10 + 5)(-10 + 3)} = \frac{(-)}{(-)(-)}$ имеет знак минус.
• Интервал $(-5; -3)$: возьмем $x = -4$. Выражение $\frac{2(-4 - 7)}{(-4 + 5)(-4 + 3)} = \frac{(-)}{(+)(-)}$ имеет знак плюс.
• Интервал $(-3; 7]$: возьмем $x = 0$. Выражение $\frac{2(0 - 7)}{(0 + 5)(0 + 3)} = \frac{(-)}{(+)(+)}$ имеет знак минус.
• Интервал $[7; +\infty)$: возьмем $x = 10$. Выражение $\frac{2(10 - 7)}{(10 + 5)(10 + 3)} = \frac{(+)}{(+)(+)}$ имеет знак плюс.

4. Определение множества решений

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Согласно анализу знаков, это происходит на интервалах, где выражение отрицательно, а также в точке, где оно равно нулю.

Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty; -5)$ и $(-3; 7]$.

Множество решений: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; 7]$.

Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует номеру 1.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-3; 7]$.

271 Найдите множество решений неравенства $x^2(2x + 3) > 0$.

1) $(-1{,}5; 0)$;

2) $(-\infty; -1{,}5) \cup (0; +\infty)$;

3) $(-1{,}5; +\infty)$;

4) $(-1{,}5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для решения неравенства $x^2(2x + 3) > 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых произведение двух множителей, $x^2$ и $(2x + 3)$, является положительным числом.

Проанализируем каждый множитель отдельно.

Множитель $x^2$ является квадратом переменной. Он всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Поскольку неравенство у нас строгое ($> 0$), то левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 \neq 0$, и следовательно, $x \neq 0$.

При условии, что $x \neq 0$, множитель $x^2$ всегда будет строго больше нуля ($x^2 > 0$).

Чтобы произведение $x^2(2x + 3)$ было положительным, при условии что $x^2 > 0$, второй множитель $(2x + 3)$ также должен быть строго больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе из двух условий: $$ \begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $2x + 3 > 0$ $2x > -3$ $x > -1.5$

Теперь необходимо учесть второе условие: $x \neq 0$.

Мы ищем все числа, которые больше $-1.5$, но не равны нулю. Это множество можно представить в виде объединения двух интервалов: от $-1.5$ до $0$ (не включая концы) и от $0$ до $+\infty$ (не включая $0$).

В интервальной нотации это записывается как: $x \in (-1.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $(-1.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

272 Найдите множество решений неравенства $(x + 3)^2(x - 2) < 0$.

1) $(-\infty; 2)$;

2) $(-3; 2)$;

3) $(-\infty; -3) \cup (-3; 2)$;

4) $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Для решения неравенства $(x + 3)^2(x - 2) < 0$ применим метод интервалов.

1. Найдём нули функции $f(x) = (x + 3)^2(x - 2)$, решив уравнение $f(x) = 0$:
$(x + 3)^2(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$. Это корень кратности 2 (чётной), так как множитель $(x+3)$ возведён в квадрат.
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$. Это корень кратности 1 (нечётной).

2. Отметим на числовой оси найденные корни. Так как неравенство строгое ($<0$), точки $x=-3$ и $x=2$ не входят в решение (они будут "выколотыми"). Корни разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3. Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале. Для этого достаточно проверить знак в одном из интервалов, а затем учесть кратность корней при переходе через них.
Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(2; +\infty)$, например, $x=10$:
$f(10) = (10 + 3)^2(10 - 2) = 13^2 \cdot 8 > 0$. Значит, в этом интервале функция положительна (+).
Двигаясь справа налево по числовой оси:
- При переходе через корень $x=2$ (нечётная кратность 1) знак функции меняется. В интервале $(-3; 2)$ знак будет «−».
- При переходе через корень $x=-3$ (чётная кратность 2) знак функции не меняется. В интервале $(-\infty; -3)$ знак остаётся «−».

4. Выберем интервалы, которые удовлетворяют условию неравенства $f(x) < 0$. Это интервалы, где функция имеет знак «−»:
$(-\infty; -3)$ и $(-3; 2)$.

Объединив эти интервалы, получим итоговое множество решений: $(-\infty; -3) \cup (-3; 2)$.
Данное множество соответствует варианту ответа

273. Решите неравенство:

а) $\frac{x^2}{x - 2} \ge 0;$

б) $\frac{x - 3}{x^2 + 6x + 9} \le 0;$

в) $\frac{x + 2}{(x - 4)^2} \ge 0;$

г) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \le 0.$

а) $\frac{x^2}{x-2} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Это корень четной кратности (второй степени), поэтому при переходе через точку $x=0$ знак выражения меняться не будет.
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
3. Отметим найденные точки на числовой оси. Точку $x=0$ отмечаем закрашенной (так как неравенство нестрогое и $x=0$ обращает числитель в ноль), а точку $x=2$ — выколотой (так как она не входит в ОДЗ).
4. Определим знак выражения на каждом из получившихся интервалов: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- В интервале $(2, +\infty)$ возьмем $x=3$: $\frac{3^2}{3-2} = \frac{9}{1} = 9 > 0$. Ставим знак «+».
- В интервале $(0, 2)$ возьмем $x=1$: $\frac{1^2}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1 < 0$. Ставим знак «-».
- В интервале $(-\infty, 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{(-1)^2}{-1-2} = \frac{1}{-3} < 0$. Ставим знак «-».
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервал со знаком «+» и точка, где выражение равно нулю.
Выражение равно нулю при $x=0$.
Выражение больше нуля при $x \in (2, +\infty)$.
Объединяя эти решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in \{0\} \cup (2, +\infty)$

б) $\frac{x-3}{x^2 + 6x + 9} \le 0$

1. Упростим знаменатель. Заметим, что $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{x-3}{(x+3)^2} \le 0$.
2. Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $(x+3)^2 \neq 0$, что означает $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
3. Знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен для всех $x$ из ОДЗ. Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x-3 \le 0 \\ x \neq -3 \end{cases}$
4. Решаем простое неравенство $x-3 \le 0$, получаем $x \le 3$.
5. Учитываем ограничение из ОДЗ ($x \neq -3$). Таким образом, решением является множество всех чисел, которые меньше или равны 3, за исключением -3.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3]$

в) $\frac{x+2}{(x-4)^2} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $(x-4)^2 \neq 0$, что означает $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.
2. Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен для всех $x$ из ОДЗ. Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя.
Исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$
3. Решаем неравенство $x+2 \ge 0$, получаем $x \ge -2$.
4. Учитываем ограничение из ОДЗ ($x \neq 4$). Решением является множество всех чисел, которые больше или равны -2, за исключением 4.

Ответ: $x \in [-2, 4) \cup (4, +\infty)$

г) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \le 0$

1. Упростим числитель. Заметим, что $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x-1)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)^2}{x} \le 0$.
2. Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$.
3. Числитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен (то есть $(x-1)^2 \ge 0$) для любого $x$.
Неравенство $\frac{(x-1)^2}{x} \le 0$ выполняется в двух случаях:
- Когда дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю: $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, $x=1$ является решением.
- Когда дробь строго меньше нуля. Так как числитель $(x-1)^2$ положителен при $x \neq 1$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным: $x < 0$.
4. Объединяем оба случая: $x < 0$ или $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$