Страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

304 Один катет прямоугольного треугольника на 17 см меньше другого. Найдите площадь этого треугольника, если гипотенуза равна 25 см.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$ см, а другой катет — $b$ см. По условию, один катет на 17 см меньше другого. Примем, что $a$ — это меньший катет, тогда $b = a + 17$ см. Гипотенуза $c$ равна 25 см.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$:
$a^2 + (a + 17)^2 = 25^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (a^2 + 34a + 289) = 625$
$2a^2 + 34a + 289 - 625 = 0$
$2a^2 + 34a - 336 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:
$a^2 + 17a - 168 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем возможные значения для катета $a$:
$a_1 = \frac{-17 - 31}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$
$a_2 = \frac{-17 + 31}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $a = 7$ см.

Теперь можем найти длину второго катета $b$:
$b = a + 17 = 7 + 17 = 24$ см.

Итак, катеты треугольника равны 7 см и 24 см.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ находится по формуле половины произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Вычислим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$ см².

Ответ: 84 см².

305 Бассейн наполняется водой через одну трубу за 4 ч, а через вторую за 6 ч. Через сколько часов наполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно?

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть бассейна каждая труба наполняет за один час (это называется производительностью), а затем сложить эти значения, чтобы найти их совместную производительность.

Примем весь объем бассейна за 1 (единицу).

Производительность первой трубы, которая наполняет бассейн за 4 часа, составляет $ \frac{1}{4} $ бассейна в час.

Производительность второй трубы, которая наполняет бассейн за 6 часов, составляет $ \frac{1}{6} $ бассейна в час.

Чтобы найти совместную производительность при одновременной работе, сложим производительности обеих труб: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} $

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 6 равен 12. $ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} $

Таким образом, работая вместе, обе трубы за один час наполняют $ \frac{5}{12} $ часть бассейна.

Теперь найдем общее время $ t $, за которое будет наполнен весь бассейн (то есть 1). Для этого нужно разделить всю работу (1) на совместную производительность ($ \frac{5}{12} $): $ t = 1 \div \frac{5}{12} = 1 \times \frac{12}{5} = \frac{12}{5} $ часа.

Для удобства можно перевести эту дробь в десятичную форму: $ t = \frac{12}{5} = 2.4 $ часа.

Также можно выразить это время в часах и минутах. $ 2.4 $ часа - это 2 целых часа и $ 0.4 $ часа. Переведем $ 0.4 $ часа в минуты, умножив на 60 (так как в одном часе 60 минут): $ 0.4 \times 60 = 24 $ минуты.

Следовательно, бассейн наполнится за 2 часа 24 минуты.

Ответ: 2,4 часа (или 2 часа 24 минуты).

306 Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить заказ за 3 ч 36 мин. Первый рабочий, работая один, может выполнить этот заказ за 6 ч. Сколько времени необходимо второму рабочему для выполнения заказа, если он будет работать один?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (один заказ).

Производительность (скорость работы) вычисляется по формуле $P = \frac{A}{t}$, где $A$ — объем работы, а $t$ — время выполнения. В нашем случае $A=1$.

1. Переведем время совместной работы в часы. Двое рабочих выполняют заказ за 3 ч 36 мин. $36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = \frac{3}{5} \text{ ч} = 0.6 \text{ ч}$. Значит, время совместной работы $t_{совм} = 3 + 0.6 = 3.6$ ч.

2. Найдем совместную производительность двух рабочих. $P_{совм} = \frac{1}{t_{совм}} = \frac{1}{3.6} = \frac{1}{36/10} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ заказа в час.

3. Найдем производительность первого рабочего. Первый рабочий выполняет заказ один за $t_1 = 6$ ч. Его производительность $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{6}$ заказа в час.

4. Найдем производительность второго рабочего. Совместная производительность равна сумме производительностей каждого рабочего: $P_{совм} = P_1 + P_2$. Отсюда производительность второго рабочего $P_2 = P_{совм} - P_1$. $P_2 = \frac{5}{18} - \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18: $\frac{1}{6} = \frac{3}{18}$. $P_2 = \frac{5}{18} - \frac{3}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ заказа в час.

5. Найдем время, которое необходимо второму рабочему для выполнения заказа в одиночку. Время $t_2 = \frac{A}{P_2} = \frac{1}{1/9} = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.

307 За 2,5 м шерстяной ткани и 4 м хлопчатобумажной ткани уплатили 2120 р. В конце сезона цена на шерстяную ткань снизилась на 20%, а на хлопчатобумажную ткань повысилась на 10%, и такая покупка стала стоить 1882 р. Найдите первоначальную цену каждого вида ткани.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ рублей — это первоначальная цена за 1 метр шерстяной ткани, а $y$ рублей — первоначальная цена за 1 метр хлопчатобумажной ткани.

Согласно первому условию, за 2,5 м шерстяной ткани и 4 м хлопчатобумажной ткани заплатили 2120 рублей. На основе этого составим первое уравнение:
$2.5x + 4y = 2120$

Далее, цена на шерстяную ткань снизилась на 20%. Это означает, что ее новая цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Выразим новую цену:
$x_{новая} = x \cdot (1 - 0.20) = 0.8x$

Цена на хлопчатобумажную ткань повысилась на 10%. Ее новая цена составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной. Выразим новую цену:
$y_{новая} = y \cdot (1 + 0.10) = 1.1y$

Стоимость такой же покупки (2,5 м шерстяной и 4 м хлопчатобумажной ткани) по новым ценам составила 1882 рубля. Составим второе уравнение:
$2.5 \cdot (0.8x) + 4 \cdot (1.1y) = 1882$
$2x + 4.4y = 1882$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 2.5x + 4y = 2120 \\ 2x + 4.4y = 1882 \end{cases}$

Решим эту систему. Для удобства можно умножить первое уравнение на 4, а второе — на 5, чтобы избавиться от дробных коэффициентов и уравнять коэффициенты при $x$.
$\begin{cases} 4 \cdot (2.5x + 4y) = 4 \cdot 2120 \\ 5 \cdot (2x + 4.4y) = 5 \cdot 1882 \end{cases}$
$\begin{cases} 10x + 16y = 8480 \\ 10x + 22y = 9410 \end{cases}$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:
$(10x + 22y) - (10x + 16y) = 9410 - 8480$
$6y = 930$
$y = \frac{930}{6}$
$y = 155$

Мы нашли первоначальную цену за 1 метр хлопчатобумажной ткани — она составляет 155 рублей.

Теперь подставим найденное значение $y = 155$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$2.5x + 4 \cdot 155 = 2120$
$2.5x + 620 = 2120$
$2.5x = 2120 - 620$
$2.5x = 1500$
$x = \frac{1500}{2.5}$
$x = 600$

Таким образом, первоначальная цена за 1 метр шерстяной ткани составляла 600 рублей.

Ответ: первоначальная цена шерстяной ткани — 600 рублей за метр, а первоначальная цена хлопчатобумажной ткани — 155 рублей за метр.

308 За 8 футболок и 10 спортивных маек уплатили 4560 р. Во время распродажи цена на футболки была снижена на $25\%$, а на спортивные майки на $10\%$, и такая покупка стала стоить 3780 р. Найдите первоначальную цену каждого вида товара.

Пусть $x$ — первоначальная цена одной футболки в рублях, а $y$ — первоначальная цена одной спортивной майки в рублях.

По условию задачи, за 8 футболок и 10 маек заплатили 4560 рублей. Это можно записать в виде первого уравнения:

$8x + 10y = 4560$

Во время распродажи цена на футболки снизилась на 25%, то есть новая цена стала $x - 0.25x = 0.75x$. Цена на майки снизилась на 10%, и новая цена составила $y - 0.1y = 0.9y$. Стоимость той же покупки по сниженным ценам составила 3780 рублей. Составим второе уравнение:

$8(0.75x) + 10(0.9y) = 3780$

Упростив это выражение, получаем:

$6x + 9y = 3780$

Таким образом, мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases} 8x + 10y = 4560 \\ 6x + 9y = 3780 \end{cases}$$

Для удобства решения упростим оба уравнения. Разделим обе части первого уравнения на 2, а второго — на 3:

$$\begin{cases} 4x + 5y = 2280 \\ 2x + 3y = 1260 \end{cases}$$

Решим полученную систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $2x$:

$2x = 1260 - 3y$

Теперь подставим это в первое уравнение системы, представив $4x$ как $2(2x)$:

$2(1260 - 3y) + 5y = 2280$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$2520 - 6y + 5y = 2280$

$2520 - y = 2280$

$y = 2520 - 2280$

$y = 240$

Итак, первоначальная цена одной спортивной майки составляет 240 рублей.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=240$ в выражение $2x = 1260 - 3y$:

$2x = 1260 - 3(240)$

$2x = 1260 - 720$

$2x = 540$

$x = \frac{540}{2}$

$x = 270$

Следовательно, первоначальная цена одной футболки составляет 270 рублей.

Ответ: первоначальная цена футболки — 270 рублей, первоначальная цена спортивной майки — 240 рублей.

309 Из двух городов, расстояние между которыми $500\text{ км}$, выехали одновременно два поезда и встретились через $4\text{ ч}$. Если бы второй поезд выехал на $50\text{ мин}$ раньше первого, то они встретились бы через $3\text{ ч }36\text{ мин}$ после выхода первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго поезда.

1. Анализ первого условия.

Из первого условия известно, что два поезда выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Расстояние между городами составляет 500 км. При движении навстречу друг другу их скорости складываются, поэтому скорость сближения равна $v_1 + v_2$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время, составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 4 = 500$

Отсюда найдем сумму скоростей поездов:

$v_1 + v_2 = \frac{500}{4}$

$v_1 + v_2 = 125$

2. Анализ второго условия.

Из второго условия, если бы второй поезд выехал на 50 минут раньше первого, они бы встретились через 3 часа 36 минут после выезда первого поезда.

Переведем единицы времени в часы:

50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч.

3 ч 36 мин = $3 + \frac{36}{60}$ ч = $3 + \frac{6}{10}$ ч = $3.6$ ч.

В этом случае первый поезд находился в пути 3.6 часа до момента встречи. Пройденное им расстояние равно $S_1 = v_1 \cdot 3.6$ км.

Второй поезд находился в пути на 50 минут дольше, чем первый. Его время в пути составило:

$t_2 = 3.6 + \frac{5}{6} = \frac{36}{10} + \frac{5}{6} = \frac{18}{5} + \frac{5}{6} = \frac{108 + 25}{30} = \frac{133}{30}$ ч.

Пройденное вторым поездом расстояние равно $S_2 = v_2 \cdot \frac{133}{30}$ км.

Сумма расстояний, пройденных обоими поездами, равна общему расстоянию между городами:

$S_1 + S_2 = 500$

$3.6 v_1 + \frac{133}{30} v_2 = 500$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 125 \\ 3.6 v_1 + \frac{133}{30} v_2 = 500 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 125 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3.6(125 - v_2) + \frac{133}{30} v_2 = 500$

Раскроем скобки. $3.6 \cdot 125 = 450$.

$450 - 3.6 v_2 + \frac{133}{30} v_2 = 500$

Перенесем 450 в правую часть и приведем подобные слагаемые. Заменим $3.6$ на дробь $\frac{18}{5}$:

$(\frac{133}{30} - \frac{18}{5}) v_2 = 500 - 450$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 30:

$(\frac{133}{30} - \frac{18 \cdot 6}{30}) v_2 = 50$

$(\frac{133 - 108}{30}) v_2 = 50$

$\frac{25}{30} v_2 = 50$

Упростим дробь $\frac{25}{30} = \frac{5}{6}$:

$\frac{5}{6} v_2 = 50$

$v_2 = 50 \cdot \frac{6}{5} = 10 \cdot 6 = 60$

Итак, скорость второго поезда $v_2 = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого поезда:

$v_1 = 125 - v_2 = 125 - 60 = 65$

Скорость первого поезда $v_1 = 65$ км/ч.

Ответ: скорость первого поезда 65 км/ч, скорость второго поезда 60 км/ч.

310 Катер может пройти 80 км по течению реки и 40 км против течения за 6 ч 30 мин, а 40 км по течению и 80 км против течения за 7 ч. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_c$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_p$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки равна $v_c + v_p$, а скорость катера против течения реки равна $v_c - v_p$.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Согласно первому условию, катер проходит 80 км по течению и 40 км против течения за 6 ч 30 мин. Переведем время в часы: 6 ч 30 мин = $6.5$ ч. Составим первое уравнение:

$\frac{80}{v_c + v_p} + \frac{40}{v_c - v_p} = 6.5$

Согласно второму условию, катер проходит 40 км по течению и 80 км против течения за 7 ч. Составим второе уравнение:

$\frac{40}{v_c + v_p} + \frac{80}{v_c - v_p} = 7$

Получили систему из двух уравнений. Для удобства решения сделаем замену переменных. Пусть $x = v_c + v_p$ и $y = v_c - v_p$. Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{80}{x} + \frac{40}{y} = 6.5 \\ \frac{40}{x} + \frac{80}{y} = 7 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 1, а второе на 2, чтобы применить метод сложения (вычитания):

$\begin{cases} \frac{80}{x} + \frac{40}{y} = 6.5 \\ \frac{80}{x} + \frac{160}{y} = 14 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(\frac{80}{x} + \frac{160}{y}) - (\frac{80}{x} + \frac{40}{y}) = 14 - 6.5$

$\frac{120}{y} = 7.5$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{120}{7.5} = \frac{1200}{75} = 16$

Теперь подставим значение $y = 16$ в любое из исходных уравнений системы (например, во второе):

$\frac{40}{x} + \frac{80}{16} = 7$

$\frac{40}{x} + 5 = 7$

$\frac{40}{x} = 2$

$x = \frac{40}{2} = 20$

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы получили систему:

$\begin{cases} v_c + v_p = 20 \\ v_c - v_p = 16 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(v_c + v_p) + (v_c - v_p) = 20 + 16$

$2v_c = 36$

$v_c = 18$

Подставим найденное значение $v_c = 18$ в первое уравнение системы:

$18 + v_p = 20$

$v_p = 20 - 18 = 2$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 18 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 18 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

311 Если длину данного прямоугольника увеличить на 8 см, а ширину на 6 см, то площадь прямоугольника увеличится на $632 \text{ см}^2$. Если же длину уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 8 см, то площадь прямоугольника увеличится на $164 \text{ см}^2$. Найдите периметр данного прямоугольника.

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника, а $w$ — его первоначальная ширина (в см). Тогда первоначальная площадь прямоугольника $S$ равна $l \cdot w$.

Согласно первому условию, если длину увеличить на 8 см, а ширину на 6 см, то площадь увеличится на 632 см². Новая длина станет $l + 8$, а новая ширина $w + 6$. Новая площадь будет равна $(l + 8)(w + 6)$. Увеличение площади можно записать как: $(l + 8)(w + 6) - S = 632$ Подставим $S = l \cdot w$: $(l + 8)(w + 6) - l \cdot w = 632$ Раскроем скобки: $l \cdot w + 6l + 8w + 48 - l \cdot w = 632$ $6l + 8w + 48 = 632$ $6l + 8w = 632 - 48$ $6l + 8w = 584$ Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $3l + 4w = 292$ (1)

Согласно второму условию, если длину уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 8 см, то площадь увеличится на 164 см². Новая длина станет $l - 6$, а новая ширина $w + 8$. Новая площадь будет равна $(l - 6)(w + 8)$. Увеличение площади можно записать как: $(l - 6)(w + 8) - S = 164$ Подставим $S = l \cdot w$: $(l - 6)(w + 8) - l \cdot w = 164$ Раскроем скобки: $l \cdot w + 8l - 6w - 48 - l \cdot w = 164$ $8l - 6w - 48 = 164$ $8l - 6w = 164 + 48$ $8l - 6w = 212$ Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $4l - 3w = 106$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} 3l + 4w = 292 \\ 4l - 3w = 106 \end{cases}$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы коэффициенты при переменной $w$ стали противоположными по знаку: $\begin{cases} 3 \cdot (3l + 4w) = 3 \cdot 292 \\ 4 \cdot (4l - 3w) = 4 \cdot 106 \end{cases}$ $\begin{cases} 9l + 12w = 876 \\ 16l - 12w = 424 \end{cases}$ Теперь сложим два уравнения системы: $(9l + 12w) + (16l - 12w) = 876 + 424$ $25l = 1300$ $l = \frac{1300}{25}$ $l = 52$

Теперь подставим найденное значение $l = 52$ в первое уравнение $3l + 4w = 292$, чтобы найти $w$: $3 \cdot 52 + 4w = 292$ $156 + 4w = 292$ $4w = 292 - 156$ $4w = 136$ $w = \frac{136}{4}$ $w = 34$

Таким образом, первоначальная длина прямоугольника равна 52 см, а ширина — 34 см. Найдем периметр данного прямоугольника по формуле $P = 2(l + w)$: $P = 2(52 + 34) = 2 \cdot 86 = 172$ см.

Ответ: 172 см.

312 Скорость пассажирского поезда на 20 км/ч больше скорости товарного поезда, поэтому расстояние 700 км пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость товарного поезда.

Пусть скорость товарного поезда равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость пассажирского поезда на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Время, за которое товарный поезд проходит расстояние 700 км, можно выразить формулой $t_{тов} = \frac{S}{v} = \frac{700}{x}$ часов.

Время, за которое пассажирский поезд проходит то же расстояние, составляет $t_{пасс} = \frac{700}{x + 20}$ часов.

По условию, пассажирский поезд проходит расстояние на 4 часа быстрее, чем товарный. Это значит, что время товарного поезда больше времени пассажирского на 4 часа. Составим уравнение на основе этой разницы:

$t_{тов} - t_{пасс} = 4$

$\frac{700}{x} - \frac{700}{x + 20} = 4$

Для решения этого уравнения, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$.

$\frac{700(x + 20) - 700x}{x(x + 20)} = 4$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{700x + 14000 - 700x}{x^2 + 20x} = 4$

$\frac{14000}{x^2 + 20x} = 4$

Предполагая, что $x^2 + 20x \neq 0$ (что верно, так как скорость $x$ должна быть положительной), умножим обе части уравнения на $x^2 + 20x$:

$14000 = 4(x^2 + 20x)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3500 = x^2 + 20x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 20x - 3500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -70$ не является решением задачи. Следовательно, скорость товарного поезда равна 50 км/ч.

Проверим найденное решение:
Скорость товарного поезда: 50 км/ч. Время в пути: $\frac{700}{50} = 14$ часов.
Скорость пассажирского поезда: $50 + 20 = 70$ км/ч. Время в пути: $\frac{700}{70} = 10$ часов.
Разница во времени: $14 - 10 = 4$ часа, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 50 км/ч.