Номер 309, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

309 Из двух городов, расстояние между которыми $500\text{ км}$, выехали одновременно два поезда и встретились через $4\text{ ч}$. Если бы второй поезд выехал на $50\text{ мин}$ раньше первого, то они встретились бы через $3\text{ ч }36\text{ мин}$ после выхода первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго поезда.

1. Анализ первого условия.

Из первого условия известно, что два поезда выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Расстояние между городами составляет 500 км. При движении навстречу друг другу их скорости складываются, поэтому скорость сближения равна $v_1 + v_2$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время, составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 4 = 500$

Отсюда найдем сумму скоростей поездов:

$v_1 + v_2 = \frac{500}{4}$

$v_1 + v_2 = 125$

2. Анализ второго условия.

Из второго условия, если бы второй поезд выехал на 50 минут раньше первого, они бы встретились через 3 часа 36 минут после выезда первого поезда.

Переведем единицы времени в часы:

50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч.

3 ч 36 мин = $3 + \frac{36}{60}$ ч = $3 + \frac{6}{10}$ ч = $3.6$ ч.

В этом случае первый поезд находился в пути 3.6 часа до момента встречи. Пройденное им расстояние равно $S_1 = v_1 \cdot 3.6$ км.

Второй поезд находился в пути на 50 минут дольше, чем первый. Его время в пути составило:

$t_2 = 3.6 + \frac{5}{6} = \frac{36}{10} + \frac{5}{6} = \frac{18}{5} + \frac{5}{6} = \frac{108 + 25}{30} = \frac{133}{30}$ ч.

Пройденное вторым поездом расстояние равно $S_2 = v_2 \cdot \frac{133}{30}$ км.

Сумма расстояний, пройденных обоими поездами, равна общему расстоянию между городами:

$S_1 + S_2 = 500$

$3.6 v_1 + \frac{133}{30} v_2 = 500$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 125 \\ 3.6 v_1 + \frac{133}{30} v_2 = 500 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 125 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3.6(125 - v_2) + \frac{133}{30} v_2 = 500$

Раскроем скобки. $3.6 \cdot 125 = 450$.

$450 - 3.6 v_2 + \frac{133}{30} v_2 = 500$

Перенесем 450 в правую часть и приведем подобные слагаемые. Заменим $3.6$ на дробь $\frac{18}{5}$:

$(\frac{133}{30} - \frac{18}{5}) v_2 = 500 - 450$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 30:

$(\frac{133}{30} - \frac{18 \cdot 6}{30}) v_2 = 50$

$(\frac{133 - 108}{30}) v_2 = 50$

$\frac{25}{30} v_2 = 50$

Упростим дробь $\frac{25}{30} = \frac{5}{6}$:

$\frac{5}{6} v_2 = 50$

$v_2 = 50 \cdot \frac{6}{5} = 10 \cdot 6 = 60$

Итак, скорость второго поезда $v_2 = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого поезда:

$v_1 = 125 - v_2 = 125 - 60 = 65$

Скорость первого поезда $v_1 = 65$ км/ч.

Ответ: скорость первого поезда 65 км/ч, скорость второго поезда 60 км/ч.