Номер 313, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

313 Расстояние $36 \text{ км}$ один лыжник прошёл на $0,5 \text{ ч}$ быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, если скорость одного из них на $1 \text{ км/ч}$ больше скорости другого.

Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) лыжника. Тогда, согласно условию, скорость первого (более быстрого) лыжника равна $(v + 1)$ км/ч.

Оба лыжника прошли одинаковое расстояние $S = 36$ км.

Время, которое затратил на путь второй лыжник, вычисляется по формуле $t = S/v$ и составляет $t_2 = \frac{36}{v}$ ч.

Время, которое затратил на путь первый лыжник, составляет $t_1 = \frac{36}{v+1}$ ч.

Известно, что первый лыжник прошёл дистанцию на 0,5 ч быстрее, чем второй. Это означает, что время второго лыжника больше времени первого на 0,5 часа. Составим уравнение на основе этой разницы во времени:

$t_2 - t_1 = 0,5$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+1} = 0,5$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+1)$. При этом отметим, что $v > 0$, так как скорость не может быть нулевой или отрицательной.

$\frac{36(v+1) - 36v}{v(v+1)} = 0,5$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{36v + 36 - 36v}{v^2 + v} = 0,5$

$\frac{36}{v^2 + v} = 0,5$

Теперь решим это уравнение. Можно представить 0,5 как $\frac{1}{2}$ и использовать свойство пропорции:

$\frac{36}{v^2 + v} = \frac{1}{2}$

$v^2 + v = 36 \cdot 2$

$v^2 + v = 72$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + v - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как скорость $v$ не может быть отрицательной, корень $v_2 = -9$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго, более медленного лыжника, составляет 8 км/ч.

Скорость первого, более быстрого лыжника, на 1 км/ч больше:

$8 + 1 = 9$ км/ч.

Проверка:
Время медленного лыжника: $36 \text{ км} / 8 \text{ км/ч} = 4,5$ ч.
Время быстрого лыжника: $36 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 4$ ч.
Разница во времени: $4,5 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 0,5$ ч.
Условие задачи выполняется.

Ответ: скорость одного лыжника 8 км/ч, скорость другого 9 км/ч.