Номер 318, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

318 Один экскаватор может вырыть котлован на 10 ч быстрее, чем другой. После того как первый экскаватор проработал 10 ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за 15 ч. За сколько часов могли бы вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременно?

Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1.

Пусть $x$ часов — время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая в одиночку. Тогда его производительность (скорость работы) составляет $v_1 = \frac{1}{x}$ котлована в час.

По условию, первый экскаватор выполняет работу на 10 часов быстрее, чем второй. Следовательно, второму экскаватору потребуется $x + 10$ часов. Его производительность составляет $v_2 = \frac{1}{x+10}$ котлована в час.

Первый экскаватор работал 10 часов и выполнил часть работы, равную $10 \cdot v_1 = 10 \cdot \frac{1}{x} = \frac{10}{x}$.

После этого второй экскаватор закончил работу за 15 часов, выполнив оставшуюся часть работы, равную $15 \cdot v_2 = 15 \cdot \frac{1}{x+10} = \frac{15}{x+10}$.

Сумма выполненных ими частей работы равна всей работе, то есть 1. Составим уравнение:

$\frac{10}{x} + \frac{15}{x+10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+10)$. Учтем, что $x > 0$.

$10(x+10) + 15x = x(x+10)$

$10x + 100 + 15x = x^2 + 10x$

$25x + 100 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 25x - 100 = 0$

$x^2 - 15x - 100 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, время работы первого экскаватора $x = 20$ часов.

Время работы второго экскаватора: $x + 10 = 20 + 10 = 30$ часов.

Теперь найдем, за сколько часов оба экскаватора вырыли бы котлован, работая одновременно. Для этого сложим их производительности:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

Приведем к общему знаменателю 60:

$v_{общ} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

Совместная производительность составляет $\frac{1}{12}$ котлована в час. Чтобы найти общее время работы, нужно всю работу (1) разделить на совместную производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{1/12} = 12$ часов.

Ответ: оба экскаватора, работая одновременно, могли бы вырыть котлован за 12 часов.