Номер 311, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

311 Если длину данного прямоугольника увеличить на 8 см, а ширину на 6 см, то площадь прямоугольника увеличится на $632 \text{ см}^2$. Если же длину уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 8 см, то площадь прямоугольника увеличится на $164 \text{ см}^2$. Найдите периметр данного прямоугольника.

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника, а $w$ — его первоначальная ширина (в см). Тогда первоначальная площадь прямоугольника $S$ равна $l \cdot w$.

Согласно первому условию, если длину увеличить на 8 см, а ширину на 6 см, то площадь увеличится на 632 см². Новая длина станет $l + 8$, а новая ширина $w + 6$. Новая площадь будет равна $(l + 8)(w + 6)$. Увеличение площади можно записать как: $(l + 8)(w + 6) - S = 632$ Подставим $S = l \cdot w$: $(l + 8)(w + 6) - l \cdot w = 632$ Раскроем скобки: $l \cdot w + 6l + 8w + 48 - l \cdot w = 632$ $6l + 8w + 48 = 632$ $6l + 8w = 632 - 48$ $6l + 8w = 584$ Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $3l + 4w = 292$ (1)

Согласно второму условию, если длину уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 8 см, то площадь увеличится на 164 см². Новая длина станет $l - 6$, а новая ширина $w + 8$. Новая площадь будет равна $(l - 6)(w + 8)$. Увеличение площади можно записать как: $(l - 6)(w + 8) - S = 164$ Подставим $S = l \cdot w$: $(l - 6)(w + 8) - l \cdot w = 164$ Раскроем скобки: $l \cdot w + 8l - 6w - 48 - l \cdot w = 164$ $8l - 6w - 48 = 164$ $8l - 6w = 164 + 48$ $8l - 6w = 212$ Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $4l - 3w = 106$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} 3l + 4w = 292 \\ 4l - 3w = 106 \end{cases}$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы коэффициенты при переменной $w$ стали противоположными по знаку: $\begin{cases} 3 \cdot (3l + 4w) = 3 \cdot 292 \\ 4 \cdot (4l - 3w) = 4 \cdot 106 \end{cases}$ $\begin{cases} 9l + 12w = 876 \\ 16l - 12w = 424 \end{cases}$ Теперь сложим два уравнения системы: $(9l + 12w) + (16l - 12w) = 876 + 424$ $25l = 1300$ $l = \frac{1300}{25}$ $l = 52$

Теперь подставим найденное значение $l = 52$ в первое уравнение $3l + 4w = 292$, чтобы найти $w$: $3 \cdot 52 + 4w = 292$ $156 + 4w = 292$ $4w = 292 - 156$ $4w = 136$ $w = \frac{136}{4}$ $w = 34$

Таким образом, первоначальная длина прямоугольника равна 52 см, а ширина — 34 см. Найдем периметр данного прямоугольника по формуле $P = 2(l + w)$: $P = 2(52 + 34) = 2 \cdot 86 = 172$ см.

Ответ: 172 см.