Номер 304, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

304 Один катет прямоугольного треугольника на 17 см меньше другого. Найдите площадь этого треугольника, если гипотенуза равна 25 см.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$ см, а другой катет — $b$ см. По условию, один катет на 17 см меньше другого. Примем, что $a$ — это меньший катет, тогда $b = a + 17$ см. Гипотенуза $c$ равна 25 см.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$:
$a^2 + (a + 17)^2 = 25^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (a^2 + 34a + 289) = 625$
$2a^2 + 34a + 289 - 625 = 0$
$2a^2 + 34a - 336 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:
$a^2 + 17a - 168 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем возможные значения для катета $a$:
$a_1 = \frac{-17 - 31}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$
$a_2 = \frac{-17 + 31}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $a = 7$ см.

Теперь можем найти длину второго катета $b$:
$b = a + 17 = 7 + 17 = 24$ см.

Итак, катеты треугольника равны 7 см и 24 см.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ находится по формуле половины произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Вычислим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$ см².

Ответ: 84 см².