Номер 310, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

310 Катер может пройти 80 км по течению реки и 40 км против течения за 6 ч 30 мин, а 40 км по течению и 80 км против течения за 7 ч. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_c$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_p$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки равна $v_c + v_p$, а скорость катера против течения реки равна $v_c - v_p$.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Согласно первому условию, катер проходит 80 км по течению и 40 км против течения за 6 ч 30 мин. Переведем время в часы: 6 ч 30 мин = $6.5$ ч. Составим первое уравнение:

$\frac{80}{v_c + v_p} + \frac{40}{v_c - v_p} = 6.5$

Согласно второму условию, катер проходит 40 км по течению и 80 км против течения за 7 ч. Составим второе уравнение:

$\frac{40}{v_c + v_p} + \frac{80}{v_c - v_p} = 7$

Получили систему из двух уравнений. Для удобства решения сделаем замену переменных. Пусть $x = v_c + v_p$ и $y = v_c - v_p$. Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{80}{x} + \frac{40}{y} = 6.5 \\ \frac{40}{x} + \frac{80}{y} = 7 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 1, а второе на 2, чтобы применить метод сложения (вычитания):

$\begin{cases} \frac{80}{x} + \frac{40}{y} = 6.5 \\ \frac{80}{x} + \frac{160}{y} = 14 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(\frac{80}{x} + \frac{160}{y}) - (\frac{80}{x} + \frac{40}{y}) = 14 - 6.5$

$\frac{120}{y} = 7.5$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{120}{7.5} = \frac{1200}{75} = 16$

Теперь подставим значение $y = 16$ в любое из исходных уравнений системы (например, во второе):

$\frac{40}{x} + \frac{80}{16} = 7$

$\frac{40}{x} + 5 = 7$

$\frac{40}{x} = 2$

$x = \frac{40}{2} = 20$

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы получили систему:

$\begin{cases} v_c + v_p = 20 \\ v_c - v_p = 16 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(v_c + v_p) + (v_c - v_p) = 20 + 16$

$2v_c = 36$

$v_c = 18$

Подставим найденное значение $v_c = 18$ в первое уравнение системы:

$18 + v_p = 20$

$v_p = 20 - 18 = 2$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 18 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 18 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.