Номер 317, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Текстовые задачи. Модуль «Алгебра». Итоговое повторение. ч. 2 - номер 317, страница 197.

317 Один асфальтоукладчик может выполнить задание на 15 дней быстрее, чем другой. После того как первый асфальтоукладчик проработал 10 дней, его сменил другой и закончил работу за 30 дней. За сколько дней могут выполнить всю работу два асфальтоукладчика, работая одновременно?

Примем всю работу за 1 (одну целую).

Пусть время, за которое первый асфальтоукладчик может выполнить всю работу самостоятельно, равно $t_1$ дней, а время второго — $t_2$ дней. Тогда их производительности (часть работы, выполняемая за один день) равны $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$ соответственно.

Из условия задачи известно, что первый асфальтоукладчик может выполнить задание на 15 дней быстрее, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 - 15$

Первый асфальтоукладчик работал 10 дней и выполнил часть работы, равную $10 \cdot v_1 = \frac{10}{t_1}$.

Затем его сменил второй, который закончил оставшуюся работу за 30 дней, выполнив часть работы, равную $30 \cdot v_2 = \frac{30}{t_2}$.

Так как в результате вся работа была выполнена, сумма этих двух частей равна 1:

$\frac{10}{t_1} + \frac{30}{t_2} = 1$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 = t_2 - 15 \\ \frac{10}{t_1} + \frac{30}{t_2} = 1 \end{cases} $

Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{10}{t_2 - 15} + \frac{30}{t_2} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $t_2(t_2 - 15)$, при условии что $t_2 \neq 0$ и $t_2 \neq 15$:

$10t_2 + 30(t_2 - 15) = t_2(t_2 - 15)$

Раскроем скобки:

$10t_2 + 30t_2 - 450 = t_2^2 - 15t_2$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$t_2^2 - 15t_2 - 40t_2 + 450 = 0$

$t_2^2 - 55t_2 + 450 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

Так как $\sqrt{1225} = 35$, корни уравнения равны:

$t_{2,1} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$t_{2,2} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Нам нужно проверить оба корня. Из условия $t_1 = t_2 - 15$ следует, что $t_1$ должно быть положительным числом, то есть $t_2 - 15 > 0$, откуда $t_2 > 15$.

Корень $t_2 = 10$ не удовлетворяет этому условию, так как привел бы к отрицательному времени для первого асфальтоукладчика ($t_1 = 10 - 15 = -5$), что бессмысленно.

Следовательно, единственно верное решение — $t_2 = 45$ дней. Тогда время первого асфальтоукладчика: $t_1 = 45 - 15 = 30$ дней.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: за сколько дней могут выполнить всю работу два асфальтоукладчика, работая одновременно. Для этого найдем их совместную производительность $v_{общ}$ как сумму их индивидуальных производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$

Приведем дроби к общему знаменателю 90:

$v_{общ} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$

Совместная производительность равна $\frac{1}{18}$ части работы в день. Это означает, что для выполнения всей работы (1) им потребуется время $T$, равное:

$T = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{1/18} = 18$ дней.

Ответ: два асфальтоукладчика, работая одновременно, могут выполнить всю работу за 18 дней.