Номер 315, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

315 Две бригады, работая одновременно, могут выполнить некоторое задание за 6 дней. Одна бригада, работая отдельно, может выполнить это задание на 5 дней быстрее, чем вторая. За какое время может выполнить всё задание вторая бригада, работая отдельно?

Примем всю работу за 1 (единицу).

Пусть время, за которое вторая бригада может выполнить всю работу самостоятельно, равно $x$ дней. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первая бригада выполняет ту же работу на 5 дней быстрее. Значит, время работы первой бригады составляет $(x - 5)$ дней. Ее производительность равна $\frac{1}{x-5}$.

Когда обе бригады работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5}$.

Из условия известно, что вместе они выполняют работу за 6 дней. Следовательно, их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в день.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность к ее значению:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-5)$:

$\frac{x-5+x}{x(x-5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x-5}{x^2-5x} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$6(2x-5) = 1(x^2-5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию задачи. Время работы любой бригады должно быть положительным. Время работы первой бригады равно $(x-5)$, следовательно, должно выполняться неравенство $x-5 > 0$, то есть $x > 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет этому условию, так как $2 \ngtr 5$. Этот корень является посторонним.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$. Это и есть искомое время для второй бригады. Время работы первой бригады в этом случае составит $15 - 5 = 10$ дней.

Таким образом, вторая бригада, работая отдельно, может выполнить все задание за 15 дней.

Проверка:
Производительность первой бригады: $\frac{1}{10}$.
Производительность второй бригады: $\frac{1}{15}$.
Совместная производительность: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Время совместной работы: $1 / (\frac{1}{6}) = 6$ дней. Все верно.

Ответ: 15 дней.