Номер 321, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

321 Один сплав содержит $55\%$ цинка, а другой — $70\%$ цинка. После переплавки получили 750 г нового сплава с $60\%$-ным содержанием цинка. Сколько граммов цинка содержалось в первом сплаве?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $m_1$ — масса первого сплава в граммах, а $m_2$ — масса второго сплава в граммах.

Из условия известно, что общая масса нового сплава, полученного после переплавки, составляет 750 г. Следовательно, сумма масс исходных сплавов равна 750 г. Это дает нам первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 750$

Далее рассмотрим массу цинка. В первом сплаве содержится 55% цинка, значит, масса цинка в нем равна $0.55 \cdot m_1$. Во втором сплаве содержится 70% цинка, поэтому масса цинка в нем составляет $0.70 \cdot m_2$.

Масса цинка в новом сплаве является суммой масс цинка из двух первоначальных сплавов. Также нам известно, что новый сплав массой 750 г содержит 60% цинка. Вычислим массу цинка в новом сплаве:

$750 \text{ г} \cdot 0.60 = 450 \text{ г}$

Теперь мы можем составить второе уравнение, приравняв сумму масс цинка из исходных сплавов к массе цинка в конечном сплаве:

$0.55 \cdot m_1 + 0.70 \cdot m_2 = 450$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 750 \\ 0.55 m_1 + 0.70 m_2 = 450 \end{cases}$

Для решения системы выразим $m_2$ из первого уравнения:

$m_2 = 750 - m_1$

Подставим это выражение для $m_2$ во второе уравнение:

$0.55 m_1 + 0.70 (750 - m_1) = 450$

Теперь решим полученное уравнение относительно $m_1$:

$0.55 m_1 + 0.70 \cdot 750 - 0.70 m_1 = 450$

$0.55 m_1 + 525 - 0.70 m_1 = 450$

$525 - 450 = 0.70 m_1 - 0.55 m_1$

$75 = 0.15 m_1$

$m_1 = \frac{75}{0.15} = \frac{7500}{15} = 500$

Таким образом, масса первого сплава равна 500 г. В задаче спрашивается, сколько граммов цинка содержалось в первом сплаве. Для этого нужно найти 55% от его массы:

$500 \text{ г} \cdot 0.55 = 275 \text{ г}$

Ответ: в первом сплаве содержалось 275 граммов цинка.