Номер 316, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

316 Две копировальные машины, работая одновременно, могут выполнить работу за 12 мин. Если будет работать только первая копировальная машина, то вся работа будет выполнена на 10 мин быстрее, чем при работе только второй машины. За сколько минут всю работу может выполнить вторая копировальная машина?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу). Пусть $t_1$ – это время в минутах, за которое первая копировальная машина выполняет всю работу, а $t_2$ – время второй машины. Тогда производительность (скорость выполнения работы) первой машины составляет $v_1 = \frac{1}{t_1}$ работы в минуту, а второй – $v_2 = \frac{1}{t_2}$ работы в минуту.

Из условия известно, что две машины, работая вместе, выполняют работу за 12 минут. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$. Составим первое уравнение на основе формулы «работа = производительность × время»:

$(v_1 + v_2) \cdot 12 = 1$

Подставив выражения для производительности, получим:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 12 = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Также в условии сказано, что первая машина выполняет работу на 10 минут быстрее, чем вторая. Это означает, что время $t_1$ на 10 минут меньше, чем время $t_2$. Это дает нам второе уравнение:

$t_1 = t_2 - 10$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\t_1 = t_2 - 10\end{cases}$$

Подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:

$\frac{1}{t_2 - 10} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(t_2 - 10)$:

$\frac{t_2 + (t_2 - 10)}{t_2(t_2 - 10)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2t_2 - 10}{t_2^2 - 10t_2} = \frac{1}{12}$

Используя правило пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$12(2t_2 - 10) = 1(t_2^2 - 10t_2)$

$24t_2 - 120 = t_2^2 - 10t_2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$t_2^2 - 10t_2 - 24t_2 + 120 = 0$

$t_2^2 - 34t_2 + 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся дискриминантом $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:

$t_{2,1} = \frac{-(-34) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{34 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$t_{2,2} = \frac{-(-34) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{34 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для времени работы второй машины. Необходимо проверить оба корня.

1. Если $t_2 = 30$ минут, то время работы первой машины $t_1 = t_2 - 10 = 30 - 10 = 20$ минут. Оба значения времени положительны, что имеет физический смысл. Проверим, выполняется ли условие совместной работы: $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$. Это соответствует условию задачи.

2. Если $t_2 = 4$ минуты, то время работы первой машины $t_1 = t_2 - 10 = 4 - 10 = -6$ минут. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому этот корень является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, единственное правильное решение – время работы второй машины составляет 30 минут.

Ответ: 30 минут.