Номер 314, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

314 Расстояние между двумя пристанями 105 км катер проплывает по течению реки на 2 ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Согласно условию, собственная скорость катера равна 18 км/ч. Тогда:

• Скорость катера по течению реки (когда катер плывет в том же направлении, что и течение) составляет $(18 + x)$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки (когда катер плывет в направлении, противоположном течению) составляет $(18 - x)$ км/ч.

Расстояние между двумя пристанями равно 105 км. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Время, которое катер затрачивает на путь по течению, равно $t_{1} = \frac{105}{18 + x}$ часов.

Время, которое катер затрачивает на путь против течения, равно $t_{2} = \frac{105}{18 - x}$ часов.

Из условия известно, что катер проплывает расстояние по течению на 2 часа быстрее, чем против течения. Это означает, что время движения против течения на 2 часа больше, чем время движения по течению. Составим уравнение:

$t_{2} - t_{1} = 2$

$\frac{105}{18 - x} - \frac{105}{18 + x} = 2$

Для решения данного уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю, которым является произведение $(18 - x)(18 + x)$.

$\frac{105(18 + x) - 105(18 - x)}{(18 - x)(18 + x)} = 2$

Упростим числитель и знаменатель дроби в левой части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{105 \cdot 18 + 105x - 105 \cdot 18 + 105x}{18^2 - x^2} = 2$

$\frac{210x}{324 - x^2} = 2$

Теперь решим получившееся уравнение. Область допустимых значений для $x$: $x > 0$ (скорость течения положительна) и $18 - x > 0$ (катер должен иметь возможность двигаться против течения), то есть $x < 18$.

$210x = 2(324 - x^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$105x = 324 - x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 105x - 324 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 105^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 11025 + 1296 = 12321$

$\sqrt{D} = \sqrt{12321} = 111$

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-105 + 111}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-105 - 111}{2 \cdot 1} = \frac{-216}{2} = -108$

Корень $x_2 = -108$ является посторонним, так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x = 3$.

Выполним проверку:

• Скорость по течению: $18 + 3 = 21$ км/ч. Время в пути: $\frac{105}{21} = 5$ ч.
• Скорость против течения: $18 - 3 = 15$ км/ч. Время в пути: $\frac{105}{15} = 7$ ч.
• Разница во времени: $7\text{ ч} - 5\text{ ч} = 2$ ч.

Расчеты подтверждают правильность найденного решения.

Ответ: 3 км/ч.