Номер 307, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

307 За 2,5 м шерстяной ткани и 4 м хлопчатобумажной ткани уплатили 2120 р. В конце сезона цена на шерстяную ткань снизилась на 20%, а на хлопчатобумажную ткань повысилась на 10%, и такая покупка стала стоить 1882 р. Найдите первоначальную цену каждого вида ткани.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ рублей — это первоначальная цена за 1 метр шерстяной ткани, а $y$ рублей — первоначальная цена за 1 метр хлопчатобумажной ткани.

Согласно первому условию, за 2,5 м шерстяной ткани и 4 м хлопчатобумажной ткани заплатили 2120 рублей. На основе этого составим первое уравнение:
$2.5x + 4y = 2120$

Далее, цена на шерстяную ткань снизилась на 20%. Это означает, что ее новая цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Выразим новую цену:
$x_{новая} = x \cdot (1 - 0.20) = 0.8x$

Цена на хлопчатобумажную ткань повысилась на 10%. Ее новая цена составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной. Выразим новую цену:
$y_{новая} = y \cdot (1 + 0.10) = 1.1y$

Стоимость такой же покупки (2,5 м шерстяной и 4 м хлопчатобумажной ткани) по новым ценам составила 1882 рубля. Составим второе уравнение:
$2.5 \cdot (0.8x) + 4 \cdot (1.1y) = 1882$
$2x + 4.4y = 1882$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 2.5x + 4y = 2120 \\ 2x + 4.4y = 1882 \end{cases}$

Решим эту систему. Для удобства можно умножить первое уравнение на 4, а второе — на 5, чтобы избавиться от дробных коэффициентов и уравнять коэффициенты при $x$.
$\begin{cases} 4 \cdot (2.5x + 4y) = 4 \cdot 2120 \\ 5 \cdot (2x + 4.4y) = 5 \cdot 1882 \end{cases}$
$\begin{cases} 10x + 16y = 8480 \\ 10x + 22y = 9410 \end{cases}$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:
$(10x + 22y) - (10x + 16y) = 9410 - 8480$
$6y = 930$
$y = \frac{930}{6}$
$y = 155$

Мы нашли первоначальную цену за 1 метр хлопчатобумажной ткани — она составляет 155 рублей.

Теперь подставим найденное значение $y = 155$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$2.5x + 4 \cdot 155 = 2120$
$2.5x + 620 = 2120$
$2.5x = 2120 - 620$
$2.5x = 1500$
$x = \frac{1500}{2.5}$
$x = 600$

Таким образом, первоначальная цена за 1 метр шерстяной ткани составляла 600 рублей.

Ответ: первоначальная цена шерстяной ткани — 600 рублей за метр, а первоначальная цена хлопчатобумажной ткани — 155 рублей за метр.