Номер 302, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

302 Катер прошёл расстояние между пунктами $A$ и $B$ по течению реки за 4 ч 30 мин, а в обратную сторону за 6 ч 18 мин. Определите расстояние между пунктами $A$ и $B$, если скорость течения реки $2,4 \text{ км/ч}$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – искомое расстояние между пунктами А и В (в км),
$v_к$ – собственная скорость катера, то есть скорость в стоячей воде (в км/ч),
$v_{теч}$ – скорость течения реки (в км/ч).

По условию задачи, скорость течения реки $v_{теч} = 2.4$ км/ч.
Время движения по течению: $t_{по} = 4 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.
Время движения против течения: $t_{против} = 6 \text{ ч } 18 \text{ мин}$.

Переведем время в часы для удобства расчетов:
$t_{по} = 4 + \frac{30}{60} = 4.5$ ч
$t_{против} = 6 + \frac{18}{60} = 6 + \frac{3}{10} = 6.3$ ч

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_{теч}$.
Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_к - v_{теч}$.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$:
1. При движении по течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_к + v_{теч}) \cdot t_{по}$.
2. При движении против течения: $S = v_{против} \cdot t_{против} = (v_к - v_{теч}) \cdot t_{против}$.

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений: $(v_к + v_{теч}) \cdot t_{по} = (v_к - v_{теч}) \cdot t_{против}$

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти собственную скорость катера $v_к$:
$(v_к + 2.4) \cdot 4.5 = (v_к - 2.4) \cdot 6.3$
$4.5 v_к + 4.5 \cdot 2.4 = 6.3 v_к - 6.3 \cdot 2.4$
$4.5 v_к + 10.8 = 6.3 v_к - 15.12$
Теперь соберем слагаемые с $v_к$ в одной части уравнения, а числовые значения – в другой:
$10.8 + 15.12 = 6.3 v_к - 4.5 v_к$
$25.92 = 1.8 v_к$
$v_к = \frac{25.92}{1.8}$
$v_к = 14.4$ км/ч.

Зная собственную скорость катера, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v_к$ в любое из двух первоначальных выражений для расстояния. Воспользуемся первым: $S = (v_к + v_{теч}) \cdot t_{по}$
$S = (14.4 + 2.4) \cdot 4.5$
$S = 16.8 \cdot 4.5$
$S = 75.6$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя второе выражение: $S = (v_к - v_{теч}) \cdot t_{против}$
$S = (14.4 - 2.4) \cdot 6.3$
$S = 12 \cdot 6.3$
$S = 75.6$ км.
Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: расстояние между пунктами А и В равно 75,6 км.