Номер 298, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

298 a) При каких значениях $n$ квадратное уравнение

$x^2 + (n - 2)x - (n - 5) = 0$

имеет два корня?

б) При каких значениях $n$ квадратное уравнение

$x^2 - (n + 1)x - (n - 2) = 0$

не имеет корней?

а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).
Дано уравнение: $x^2 + (n - 2)x - (n - 5) = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = n - 2$, $c = -(n - 5)$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (n - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(n - 5))$
$D = (n - 2)^2 + 4(n - 5)$
$D = (n^2 - 4n + 4) + (4n - 20)$
$D = n^2 - 16$
Чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство $D > 0$:
$n^2 - 16 > 0$
$(n - 4)(n + 4) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $n \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.
Ответ: при $n \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

б) Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).
Дано уравнение: $x^2 - (n + 1)x - (n - 2) = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -(n + 1)$, $c = -(n - 2)$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-(n + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(n - 2))$
$D = (n + 1)^2 + 4(n - 2)$
$D = (n^2 + 2n + 1) + (4n - 8)$
$D = n^2 + 6n - 7$
Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:
$n^2 + 6n - 7 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 + 6n - 7 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = 1$ и $n_2 = -7$.
Неравенство можно записать в виде $(n - 1)(n + 7) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $(-7; 1)$.
Ответ: при $n \in (-7; 1)$.