Номер 296, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

296 а) Укажите наибольшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{3 - 9x}{x + 5} < 0$.

б) Укажите наименьшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{x - 6}{6 - 2x} \le 0$.

а)

Требуется указать наибольшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{3 - 9x}{x + 5} < 0$. Это означает, что нам нужно найти наибольшее целое число $x$, для которого данное неравенство не выполняется, то есть выполняется противоположное неравенство: $\frac{3 - 9x}{x + 5} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $3 - 9x = 0 \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Нуль знаменателя: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x = \frac{1}{3}$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x = -5$ будет выколотой, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала.

Определим знак выражения $\frac{3 - 9x}{x + 5}$ на каждом из интервалов:

• При $x > \frac{1}{3}$ (например, $x = 1$): $\frac{3 - 9(1)}{1 + 5} = \frac{-6}{6} = -1$, что меньше 0.
• При $-5 < x < \frac{1}{3}$ (например, $x = 0$): $\frac{3 - 9(0)}{0 + 5} = \frac{3}{5}$, что больше 0.
• При $x < -5$ (например, $x = -6$): $\frac{3 - 9(-6)}{-6 + 5} = \frac{57}{-1} = -57$, что меньше 0.

Неравенство $\frac{3 - 9x}{x + 5} \ge 0$ выполняется, когда $x$ принадлежит промежутку $(-5, \frac{1}{3}]$. Таким образом, множество чисел, которые не являются решением исходного неравенства, есть промежуток $(-5, \frac{1}{3}]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -4, -3, -2, -1, 0. Наибольшее из этих целых чисел равно 0.

Ответ: 0

б)

Требуется указать наименьшее целое число, которое не является решением неравенства $\frac{x - 6}{6 - 2x} \le 0$. Это означает, что мы ищем наименьшее целое число $x$, для которого это неравенство неверно. Неравенство будет неверно в двух случаях:
1. Если левая часть строго больше нуля: $\frac{x - 6}{6 - 2x} > 0$.
2. Если левая часть не определена (то есть знаменатель равен нулю).

Найдем, при каком $x$ знаменатель равен нулю:
$6 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
При $x = 3$ выражение в левой части не определено, следовательно, $x=3$ не является решением исходного неравенства.

Теперь решим неравенство $\frac{x - 6}{6 - 2x} > 0$.
Для удобства вынесем -2 за скобки в знаменателе: $\frac{x - 6}{-2(x - 3)} > 0$.
Разделим обе части неравенства на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x - 6}{x - 3} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это $x=6$ и $x=3$. Они разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 3)$, $(3, 6)$ и $(6, \infty)$.
Проверяя знак выражения $\frac{x-6}{x-3}$ на интервалах, находим, что оно отрицательно при $x \in (3, 6)$.

Таким образом, множество всех чисел, которые не являются решением исходного неравенства, — это объединение точки $x=3$ и интервала $(3, 6)$, что дает нам промежуток $[3, 6)$.
Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 3, 4, 5.
Наименьшее из этих целых чисел равно 3.

Ответ: 3