Номер 290, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

290 Найдите область определения функции $y = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$.

1) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty);$

2) $[-1; 2);$

3) $(2; +\infty);$

4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty).$

Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня (подкоренное выражение), должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.

Это приводит к системе условий: $ \begin{cases} \frac{x+1}{x-2} \ge 0 \\ x-2 \ne 0 \end{cases} $

Условие $x \ne 2$ означает, что точка $x=2$ должна быть исключена из решения. Решим основное неравенство $\frac{x+1}{x-2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x+1=0 \implies x=-1$. Так как неравенство нестрогое (знак $\ge$), эта точка включается в область определения. Нуль знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$. Эта точка исключается из области определения, так как на ноль делить нельзя.

2. Отметим эти точки на числовой оси. Точку $x=-1$ отмечаем закрашенной (включаем), а точку $x=2$ — выколотой (исключаем). Эти точки разбивают ось на три промежутка: $(-\infty; -1]$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{x+1}{x-2}$ в каждом из промежутков, подставив любое значение из этого промежутка:

- В интервале $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. Получим $\frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4$, что больше нуля. Ставим знак «+».

- В интервале $(-1; 2)$: возьмем $x=0$. Получим $\frac{0+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля. Ставим знак «-».

- В интервале $(-\infty; -1]$: возьмем $x=-2$. Получим $\frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$, что больше нуля. Ставим знак «+».

4. Так как мы решаем неравенство $\ge 0$, нас интересуют промежутки со знаком «+» и точка, где выражение равно нулю ($x=-1$).

Объединяя полученные результаты, находим область определения функции: $x \in (-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$.