Номер 292, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

292 a) Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравен-

ству $\frac{x+9}{x^2+1} > 0.$

б) Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравен-

ству $\frac{-25}{x+8} \leq 0.$

а)

Дано неравенство $\frac{x+9}{x^2+1} > 0$.

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака (оба положительные или оба отрицательные).

Рассмотрим знаменатель $x^2+1$. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2+1$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2+1 \ge 1$). Это означает, что знаменатель всегда положителен при любом значении $x$.

Так как знаменатель всегда положителен, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель также был положителен:

$x+9 > 0$

Вычтем 9 из обеих частей неравенства:

$x > -9$

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-9; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число, принадлежащее этому интервалу. Первое целое число, которое больше -9, это -8.

Ответ: -8

б)

Дано неравенство $\frac{-25}{x+8} \le 0$.

Чтобы дробь была отрицательной или равной нулю, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Числитель дроби равен -25, то есть он является постоянным отрицательным числом. Дробь не может быть равна нулю, так как числитель отличен от нуля. Следовательно, неравенство сводится к строгому неравенству $\frac{-25}{x+8} < 0$.

Поскольку числитель отрицателен, для того чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть строго положительным:

$x+8 > 0$

Вычтем 8 из обеих частей неравенства:

$x > -8$

Решением неравенства является интервал $(-8; +\infty)$. Нам нужно найти наименьшее целое число из этого интервала. Первое целое число, которое больше -8, это -7.

Ответ: -7