Номер 297, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

297 a) Укажите наибольшее целое число, которое является решением

системы неравенств $ \begin{cases} \frac{x - 5}{x + 3} > 0, \\ 2x + 6 < 11. \end{cases} $

б) Укажите наименьшее целое число, которое является решением

системы неравенств $ \begin{cases} \frac{-6 - x}{3x - 12} \le 0, \\ 9x + 6 > 4. \end{cases} $

а) Требуется найти наибольшее целое число, которое является решением системы неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x - 5}{x + 3} > 0, \\ 2x + 6 < 11. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство $\frac{x - 5}{x + 3} > 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6 - 5}{6 + 3} = \frac{1}{9} > 0$ (знак "+")
- при $-3 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0 - 5}{0 + 3} = -\frac{5}{3} < 0$ (знак "-")
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4 - 5}{-4 + 3} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$ (знак "+")
Так как нам нужно $\frac{x - 5}{x + 3} > 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$.

2. Решим второе, линейное неравенство:
$2x + 6 < 11$
$2x < 11 - 6$
$2x < 5$
$x < \frac{5}{2}$
$x < 2.5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2.5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение 1: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$
Решение 2: $x \in (-\infty; 2.5)$
Пересечением этих двух множеств является интервал $(-\infty; -3)$.

4. Найдем наибольшее целое число, принадлежащее интервалу $(-\infty; -3)$.
Целые числа, меньшие -3, это -4, -5, -6 и так далее. Наибольшее из них — это -4.

Ответ: -4

б) Требуется найти наименьшее целое число, которое является решением системы неравенств: $$ \begin{cases} \frac{-6 - x}{3x - 12} \le 0, \\ 9x + 6 > 4. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство $\frac{-6 - x}{3x - 12} \le 0$. Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от знака "минус" при $x$ в числителе. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\frac{x + 6}{3x - 12} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ (точка входит в решение, так как неравенство нестрогое)
$3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x = 4$ (точка не входит в решение, так как находится в знаменателе)
Отметим эти точки на числовой оси: -6 (закрашенная) и 4 (выколотая).

Определим знаки выражения $\frac{x + 6}{3x - 12}$ на интервалах:
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5 + 6}{3(5) - 12} = \frac{11}{3} > 0$ (знак "+")
- при $-6 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0 + 6}{3(0) - 12} = -\frac{6}{12} < 0$ (знак "-")
- при $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7 + 6}{3(-7) - 12} = \frac{-1}{-33} > 0$ (знак "+")
Так как нам нужно $\frac{x + 6}{3x - 12} \ge 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -6] \cup (4; +\infty)$.

2. Решим второе, линейное неравенство:
$9x + 6 > 4$
$9x > 4 - 6$
$9x > -2$
$x > -\frac{2}{9}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\frac{2}{9}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение 1: $x \in (-\infty; -6] \cup (4; +\infty)$
Решение 2: $x \in (-\frac{2}{9}; +\infty)$
Так как $-\frac{2}{9} \approx -0.22$, что больше чем -6, пересечение множества $(-\infty; -6]$ с $(-\frac{2}{9}; +\infty)$ пусто.
Остается найти пересечение $(4; +\infty)$ и $(-\frac{2}{9}; +\infty)$. Это будет интервал $(4; +\infty)$.

4. Найдем наименьшее целое число, принадлежащее интервалу $(4; +\infty)$.
Целые числа, большие 4, это 5, 6, 7 и так далее. Наименьшее из них — это 5.

Ответ: 5