Номер 312, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

312 Скорость пассажирского поезда на 20 км/ч больше скорости товарного поезда, поэтому расстояние 700 км пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость товарного поезда.

Пусть скорость товарного поезда равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость пассажирского поезда на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Время, за которое товарный поезд проходит расстояние 700 км, можно выразить формулой $t_{тов} = \frac{S}{v} = \frac{700}{x}$ часов.

Время, за которое пассажирский поезд проходит то же расстояние, составляет $t_{пасс} = \frac{700}{x + 20}$ часов.

По условию, пассажирский поезд проходит расстояние на 4 часа быстрее, чем товарный. Это значит, что время товарного поезда больше времени пассажирского на 4 часа. Составим уравнение на основе этой разницы:

$t_{тов} - t_{пасс} = 4$

$\frac{700}{x} - \frac{700}{x + 20} = 4$

Для решения этого уравнения, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$.

$\frac{700(x + 20) - 700x}{x(x + 20)} = 4$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{700x + 14000 - 700x}{x^2 + 20x} = 4$

$\frac{14000}{x^2 + 20x} = 4$

Предполагая, что $x^2 + 20x \neq 0$ (что верно, так как скорость $x$ должна быть положительной), умножим обе части уравнения на $x^2 + 20x$:

$14000 = 4(x^2 + 20x)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3500 = x^2 + 20x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 20x - 3500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -70$ не является решением задачи. Следовательно, скорость товарного поезда равна 50 км/ч.

Проверим найденное решение:
Скорость товарного поезда: 50 км/ч. Время в пути: $\frac{700}{50} = 14$ часов.
Скорость пассажирского поезда: $50 + 20 = 70$ км/ч. Время в пути: $\frac{700}{70} = 10$ часов.
Разница во времени: $14 - 10 = 4$ часа, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 50 км/ч.