Страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

361 Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_3 = -2, a_9 = 19;$

б) $a_5 = 9, a_{16} = -24.$

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ (common difference) можно использовать формулу, которая связывает любые два члена прогрессии $a_m$ и $a_n$:

$a_n = a_m + (n-m)d$

Из этой формулы можно выразить разность $d$:

$d = \frac{a_n - a_m}{n - m}$

а)

Нам даны члены прогрессии $a_3 = -2$ и $a_9 = 19$.

Применим формулу для нахождения разности, где $m = 3$ и $n = 9$:

$d = \frac{a_9 - a_3}{9 - 3}$

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{19 - (-2)}{9 - 3} = \frac{19 + 2}{6} = \frac{21}{6}$

Сократим полученную дробь:

$d = \frac{21}{6} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $3.5$

б)

Нам даны члены прогрессии $a_5 = 9$ и $a_{16} = -24$.

Применим ту же формулу, где $m = 5$ и $n = 16$:

$d = \frac{a_{16} - a_5}{16 - 5}$

Подставим известные значения в формулу:

$d = \frac{-24 - 9}{16 - 5} = \frac{-33}{11}$

Выполним деление:

$d = -3$

Ответ: $-3$

362 Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_5 = 43, a_9 = 21;$

б) $a_7 = 36, a_{15} = 64.$

а) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $(a_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи имеем $a_5 = 43$ и $a_9 = 21$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + (5-1)d = 43 \\ a_1 + (9-1)d = 21 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 + 4d = 43 \\ a_1 + 8d = 21 \end{cases}$

Для нахождения разности прогрессии $d$ вычтем из второго уравнения системы первое:

$(a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 21 - 43$

$4d = -22$

$d = \frac{-22}{4} = -5.5$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 4(-5.5) = 43$

$a_1 - 22 = 43$

$a_1 = 43 + 22$

$a_1 = 65$

Ответ: $a_1 = 65$.

б) Аналогично решим вторую часть задачи. По условию имеем $a_7 = 36$ и $a_{15} = 64$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + (7-1)d = 36 \\ a_1 + (15-1)d = 64 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 + 6d = 36 \\ a_1 + 14d = 64 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 6d) = 64 - 36$

$8d = 28$

$d = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 6(3.5) = 36$

$a_1 + 21 = 36$

$a_1 = 36 - 21$

$a_1 = 15$

Ответ: $a_1 = 15$.

363 Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

a) $b_6 = \frac{1}{25}$, $b_{10} = 400$;

б) $b_5 = 3$, $b_7 = \frac{3}{25}$.

а)

Для нахождения знаменателя $q$ возрастающей геометрической прогрессии $(b_n)$ воспользуемся формулой, связывающей два ее члена $b_n$ и $b_m$: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

Подставим в эту формулу данные из условия: $n=10$, $m=6$, $b_{10} = 400$ и $b_6 = \frac{1}{25}$.

$b_{10} = b_6 \cdot q^{10-6}$

$400 = \frac{1}{25} \cdot q^4$

Выразим $q^4$ из полученного уравнения:

$q^4 = 400 \cdot 25 = 10000$

Отсюда находим возможные действительные значения $q$:

$q = \sqrt[4]{10000}$, что дает два корня: $q_1 = 10$ и $q_2 = -10$.

По условию, прогрессия является возрастающей. Это означает, что $b_{k+1} > b_k$ для всех $k$. Поскольку член прогрессии $b_6 = \frac{1}{25}$ положителен, для возрастания прогрессии ее знаменатель $q$ должен быть больше 1. Из двух найденных значений этому условию удовлетворяет только $q=10$. В случае $q=-10$ знаки членов прогрессии чередовались бы, и она не была бы монотонно возрастающей.

Ответ: 10

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ с данными из условия: $n=7$, $m=5$, $b_7 = \frac{3}{25}$ и $b_5 = 3$.

$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5}$

$\frac{3}{25} = 3 \cdot q^2$

Решим уравнение относительно $q^2$, разделив обе части на 3:

$q^2 = \frac{3/25}{3} = \frac{1}{25}$

Возможные действительные значения для $q$: $q_1 = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ и $q_2 = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$.

Теперь необходимо проверить соответствие найденных значений условию возрастания прогрессии. Нам дан положительный член $b_5 = 3$. Геометрическая прогрессия с положительными членами является возрастающей только в том случае, если ее знаменатель $q > 1$.

Ни одно из найденных значений ($q = 1/5$ и $q = -1/5$) не удовлетворяет условию $q > 1$. Следовательно, не существует возрастающей геометрической прогрессии с заданными параметрами. Условия задачи противоречивы, так как для возрастающей прогрессии с $b_5=3>0$ должно выполняться неравенство $b_7 > b_5$, а в задании дано $b_7 = 3/25$, что меньше 3.

Ответ: такого знаменателя не существует.

364 Найдите знаменатель знакочередующейся геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_3 = 5$, $b_7 = 405$.

Пусть $q$ — знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии может быть выражена через любой другой её член. В общем виде формула, связывающая $n$-й и $m$-й члены прогрессии, выглядит так: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

В условии задачи даны третий и седьмой члены прогрессии: $b_3 = 5$ и $b_7 = 405$. Подставим эти значения в формулу, приняв $n=7$ и $m=3$:

$b_7 = b_3 \cdot q^{7-3}$

$405 = 5 \cdot q^4$

Чтобы найти $q$, решим полученное уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на 5:

$q^4 = \frac{405}{5}$

$q^4 = 81$

Это уравнение имеет два действительных решения, так как показатель степени чётный:

$q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$

$q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Согласно условию, геометрическая прогрессия является знакочередующейся. Это означает, что знаки её последовательных членов различны (например, ..., положительный, отрицательный, положительный, ...). Такое свойство возможно только тогда, когда знаменатель прогрессии $q$ — отрицательное число.

Из двух найденных значений для $q$ (3 и -3) выбираем отрицательное.

$q = -3$

Ответ: -3

365 Укажите номер данного члена арифметической прогрессии:

а) $-1; -0,5; 0; \dots, \text{если } a_n = 15;$

б) $2; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \dots, \text{если } a_n = -4.$

а)

Для того чтобы найти номер заданного члена арифметической прогрессии, необходимо сначала определить её первый член ($a_1$) и разность ($d$).

Задана последовательность: $-1; -0,5; 0; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = -1$.
Разность прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами.
$d = a_2 - a_1 = -0,5 - (-1) = -0,5 + 1 = 0,5$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, нам дан член прогрессии $a_n = 15$. Подставим известные значения ($a_n=15$, $a_1=-1$, $d=0,5$) в формулу и найдем $n$:
$15 = -1 + (n-1) \cdot 0,5$
$15 + 1 = (n-1) \cdot 0,5$
$16 = (n-1) \cdot 0,5$
$n-1 = \frac{16}{0,5}$
$n-1 = 32$
$n = 32 + 1$
$n = 33$

Ответ: 33

б)

Для данной прогрессии также определим первый член ($a_1$) и разность ($d$).

Задана последовательность: $2; \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = \frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$.

Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, нам дан член прогрессии $a_n = -4$. Подставим известные значения ($a_n=-4$, $a_1=2$, $d=-\frac{2}{3}$) в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$-4 = 2 + (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
$-4 - 2 = (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
$-6 = (n-1) \cdot (-\frac{2}{3})$
Чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $(-\frac{2}{3})$:
$n-1 = -6 \div (-\frac{2}{3})$
$n-1 = -6 \cdot (-\frac{3}{2})$
$n-1 = \frac{18}{2}$
$n-1 = 9$
$n = 9 + 1$
$n = 10$

Ответ: 10

366 Укажите номер данного члена геометрической прогрессии:

а) 4; 12; 36; ..., если $b_n = 972$;

б) 20; 4; 0,8; ..., если $b_n = \frac{4}{625}$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $4; 12; 36; \ldots$, для которой нужно найти номер члена $b_n = 972$.

1. Определим первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$) прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии — это отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{4} = 3$.

2. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

3. Подставим в формулу известные значения ($b_n=972$, $b_1=4$, $q=3$) и найдем $n$:

$972 = 4 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3^{n-1} = \frac{972}{4}$

$3^{n-1} = 243$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим 243 как степень числа 3. Мы знаем, что $3^5 = 243$.

$3^{n-1} = 3^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$n-1 = 5$

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Ответ: 6.

б)

Дана геометрическая прогрессия $20; 4; 0,8; \ldots$, для которой нужно найти номер члена $b_n = \frac{4}{625}$.

1. Определим первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$) прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 20$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

2. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

3. Подставим в формулу известные значения ($b_n=\frac{4}{625}$, $b_1=20$, $q=\frac{1}{5}$) и найдем $n$:

$\frac{4}{625} = 20 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 20:

$(\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{4}{625 \cdot 20}$

$(\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{4}{12500}$

Сократим дробь в правой части:

$(\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{1}{3125}$

Чтобы решить это уравнение, представим $\frac{1}{3125}$ как степень числа $\frac{1}{5}$. Мы знаем, что $5^5 = 3125$, следовательно $\frac{1}{3125} = (\frac{1}{5})^5$.

$(\frac{1}{5})^{n-1} = (\frac{1}{5})^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$n-1 = 5$

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Ответ: 6.

367 a) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии $-14; -11,5; -9; \ldots$ положительны.

б) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии $28; 26,5; 25; \ldots$ отрицательны.

а) Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$: $-14$; $-11,5$; $-9$; ...

Для решения задачи нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$ и её разность $d$.

Первый член прогрессии $a_1 = -14$.

Разность прогрессии $d$ найдем как разницу между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = -11,5 - (-14) = -11,5 + 14 = 2,5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу наши значения:

$a_n = -14 + (n-1) \cdot 2,5$.

Нам необходимо определить, с какого номера $n$ члены прогрессии будут положительными, то есть должно выполняться неравенство $a_n > 0$.

Составим и решим это неравенство:

$-14 + (n-1) \cdot 2,5 > 0$

$2,5(n-1) > 14$

$n-1 > \frac{14}{2,5}$

$n-1 > 5,6$

$n > 6,6$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 6,6$, это $n = 7$.

Таким образом, начиная с 7-го члена, все члены данной прогрессии будут положительными.

Ответ: начиная с номера 7.

б) Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$: $28$; $26,5$; $25$; ...

Найдем первый член $a_1$ и разность $d$ этой прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 28$.

Разность прогрессии $d$ равна:

$d = a_2 - a_1 = 26,5 - 28 = -1,5$.

Формула n-го члена для этой прогрессии будет:

$a_n = 28 + (n-1) \cdot (-1,5)$.

Нам нужно определить, с какого номера $n$ члены прогрессии будут отрицательными, то есть должно выполняться неравенство $a_n < 0$.

Составим и решим неравенство:

$28 + (n-1) \cdot (-1,5) < 0$

$28 - 1,5(n-1) < 0$

$28 < 1,5(n-1)$

$n-1 > \frac{28}{1,5}$

$n-1 > \frac{280}{15}$

$n-1 > \frac{56}{3}$

$n-1 > 18\frac{2}{3}$

$n > 18\frac{2}{3} + 1$

$n > 19\frac{2}{3}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 19\frac{2}{3}$, это $n = 20$.

Следовательно, начиная с 20-го члена, все члены данной прогрессии будут отрицательными.

Ответ: начиная с номера 20.

368 a) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии -32; -25,6; -18,2; ... неотрицательны.

б) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии 15; 12,5; 10; ... неположительны.

а)

Для решения задачи нужно определить номер члена $n$ арифметической прогрессии, начиная с которого все последующие члены будут неотрицательными, то есть удовлетворять условию $a_n \ge 0$.

Дана арифметическая прогрессия: $-32; -25,6; -18,2; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = -32$.
Найдем разность прогрессии $d$, используя первые два члена:
$d = a_2 - a_1 = -25,6 - (-32) = -25,6 + 32 = 6,4$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее известные значения: $a_n = -32 + (n-1) \cdot 6,4$.

Теперь составим и решим неравенство $a_n \ge 0$, чтобы найти номер первого неотрицательного члена:
$-32 + (n-1) \cdot 6,4 \ge 0$
$(n-1) \cdot 6,4 \ge 32$
$n-1 \ge \frac{32}{6,4}$
$n-1 \ge 5$
$n \ge 6$

Наименьшим целым номером $n$, который удовлетворяет данному условию, является $n=6$. Это значит, что начиная с 6-го члена, все члены прогрессии будут неотрицательными, так как разность прогрессии $d=6,4$ положительна.
Проверим это, вычислив 5-й и 6-й члены:
$a_5 = -32 + (5-1) \cdot 6,4 = -32 + 25,6 = -6,4$ (отрицательный).
$a_6 = -32 + (6-1) \cdot 6,4 = -32 + 32 = 0$ (неотрицательный).

Ответ: Все члены данной арифметической прогрессии неотрицательны, начиная с 6-го номера.

б)

Для решения задачи нужно определить номер члена $n$ арифметической прогрессии, начиная с которого все последующие члены будут неположительными, то есть удовлетворять условию $a_n \le 0$.

Дана арифметическая прогрессия: $15; 12,5; 10; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 12,5 - 15 = -2,5$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее известные значения: $a_n = 15 + (n-1) \cdot (-2,5)$.

Теперь составим и решим неравенство $a_n \le 0$, чтобы найти номер первого неположительного члена:
$15 + (n-1) \cdot (-2,5) \le 0$
$15 \le (n-1) \cdot 2,5$
$\frac{15}{2,5} \le n-1$
$6 \le n-1$
$n \ge 7$

Наименьшим целым номером $n$, который удовлетворяет данному условию, является $n=7$. Это значит, что начиная с 7-го члена, все члены прогрессии будут неположительными, так как разность прогрессии $d=-2,5$ отрицательна.
Проверим это, вычислив 6-й и 7-й члены:
$a_6 = 15 + (6-1) \cdot (-2,5) = 15 - 12,5 = 2,5$ (положительный).
$a_7 = 15 + (7-1) \cdot (-2,5) = 15 - 15 = 0$ (неположительный).

Ответ: Все члены данной арифметической прогрессии неположительны, начиная с 7-го номера.

369 а) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии -5; -1; 3; ... удовлетворяют неравенству $a_n \ge 27$.

б) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии 3; 7; 11; ... удовлетворяют неравенству $a_n > 55$.

а) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии $-5; -1; 3; \dots$ удовлетворяют неравенству $a_n \ge 27$.

Сначала найдем параметры данной арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = -5$.
Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = -1 - (-5) = 4$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим: $a_n = -5 + (n-1) \cdot 4$.

Теперь составим неравенство согласно условию задачи $a_n \ge 27$ и решим его относительно $n$:
$-5 + (n-1) \cdot 4 \ge 27$
$-5 + 4n - 4 \ge 27$
$4n - 9 \ge 27$
$4n \ge 27 + 9$
$4n \ge 36$
$n \ge \frac{36}{4}$
$n \ge 9$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом. Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $n \ge 9$, — это 9. Таким образом, начиная с 9-го номера, все члены прогрессии будут не меньше 27.
Проверим: $a_9 = -5 + (9-1) \cdot 4 = -5 + 8 \cdot 4 = -5 + 32 = 27$. $a_{10} = 27 + 4 = 31$. Условие выполняется.
Ответ: 9.

б) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии $3; 7; 11; \dots$ удовлетворяют неравенству $a_n > 55$.

Сначала найдем параметры данной арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 3$.
Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим: $a_n = 3 + (n-1) \cdot 4$.

Теперь составим неравенство согласно условию задачи $a_n > 55$ и решим его относительно $n$:
$3 + (n-1) \cdot 4 > 55$
$3 + 4n - 4 > 55$
$4n - 1 > 55$
$4n > 55 + 1$
$4n > 56$
$n > \frac{56}{4}$
$n > 14$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом. Наименьшее целое число, удовлетворяющее строгому неравенству $n > 14$, — это 15. Таким образом, начиная с 15-го номера, все члены прогрессии будут больше 55.
Проверим: $a_{14} = 3 + (14-1) \cdot 4 = 3 + 13 \cdot 4 = 3 + 52 = 55$. $a_{15} = 55 + 4 = 59$. Условие $a_n > 55$ выполняется, начиная с 15-го члена.
Ответ: 15.

370 a) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии 2; 0,5; -1; ... удовлетворяют неравенству $a_n \le -13$.

б) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии 16; 13; 10; ... удовлетворяют неравенству $a_n < -8$.

а) Для арифметической прогрессии $2; 0,5; -1; \dots$ найдем ее параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 2$. Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = 0,5 - 2 = -1,5$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения $a_1$ и $d$:
$a_n = 2 + (n-1)(-1,5)$.
Теперь нам нужно найти, начиная с какого номера $n$ все члены прогрессии удовлетворяют неравенству $a_n \le -13$. Составим и решим это неравенство:
$2 + (n-1)(-1,5) \le -13$
$2 - 1,5n + 1,5 \le -13$
$3,5 - 1,5n \le -13$
Перенесем 3,5 в правую часть:
$-1,5n \le -13 - 3,5$
$-1,5n \le -16,5$
Разделим обе части неравенства на -1,5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n \ge \frac{-16,5}{-1,5}$
$n \ge 11$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 11.
Ответ: 11

б) Для арифметической прогрессии $16; 13; 10; \dots$ найдем ее параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 16$. Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = 13 - 16 = -3$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения $a_1$ и $d$:
$a_n = 16 + (n-1)(-3)$.
Теперь нам нужно найти, начиная с какого номера $n$ все члены прогрессии удовлетворяют неравенству $a_n < -8$. Составим и решим это неравенство:
$16 + (n-1)(-3) < -8$
$16 - 3n + 3 < -8$
$19 - 3n < -8$
Перенесем 19 в правую часть:
$-3n < -8 - 19$
$-3n < -27$
Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n > \frac{-27}{-3}$
$n > 9$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 10.
Ответ: 10