Номер 363, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

363 Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

a) $b_6 = \frac{1}{25}$, $b_{10} = 400$;

б) $b_5 = 3$, $b_7 = \frac{3}{25}$.

а)

Для нахождения знаменателя $q$ возрастающей геометрической прогрессии $(b_n)$ воспользуемся формулой, связывающей два ее члена $b_n$ и $b_m$: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

Подставим в эту формулу данные из условия: $n=10$, $m=6$, $b_{10} = 400$ и $b_6 = \frac{1}{25}$.

$b_{10} = b_6 \cdot q^{10-6}$

$400 = \frac{1}{25} \cdot q^4$

Выразим $q^4$ из полученного уравнения:

$q^4 = 400 \cdot 25 = 10000$

Отсюда находим возможные действительные значения $q$:

$q = \sqrt[4]{10000}$, что дает два корня: $q_1 = 10$ и $q_2 = -10$.

По условию, прогрессия является возрастающей. Это означает, что $b_{k+1} > b_k$ для всех $k$. Поскольку член прогрессии $b_6 = \frac{1}{25}$ положителен, для возрастания прогрессии ее знаменатель $q$ должен быть больше 1. Из двух найденных значений этому условию удовлетворяет только $q=10$. В случае $q=-10$ знаки членов прогрессии чередовались бы, и она не была бы монотонно возрастающей.

Ответ: 10

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ с данными из условия: $n=7$, $m=5$, $b_7 = \frac{3}{25}$ и $b_5 = 3$.

$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5}$

$\frac{3}{25} = 3 \cdot q^2$

Решим уравнение относительно $q^2$, разделив обе части на 3:

$q^2 = \frac{3/25}{3} = \frac{1}{25}$

Возможные действительные значения для $q$: $q_1 = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ и $q_2 = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$.

Теперь необходимо проверить соответствие найденных значений условию возрастания прогрессии. Нам дан положительный член $b_5 = 3$. Геометрическая прогрессия с положительными членами является возрастающей только в том случае, если ее знаменатель $q > 1$.

Ни одно из найденных значений ($q = 1/5$ и $q = -1/5$) не удовлетворяет условию $q > 1$. Следовательно, не существует возрастающей геометрической прогрессии с заданными параметрами. Условия задачи противоречивы, так как для возрастающей прогрессии с $b_5=3>0$ должно выполняться неравенство $b_7 > b_5$, а в задании дано $b_7 = 3/25$, что меньше 3.

Ответ: такого знаменателя не существует.