Номер 367, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

367 a) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии $-14; -11,5; -9; \ldots$ положительны.

б) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии $28; 26,5; 25; \ldots$ отрицательны.

а) Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$: $-14$; $-11,5$; $-9$; ...

Для решения задачи нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$ и её разность $d$.

Первый член прогрессии $a_1 = -14$.

Разность прогрессии $d$ найдем как разницу между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = -11,5 - (-14) = -11,5 + 14 = 2,5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу наши значения:

$a_n = -14 + (n-1) \cdot 2,5$.

Нам необходимо определить, с какого номера $n$ члены прогрессии будут положительными, то есть должно выполняться неравенство $a_n > 0$.

Составим и решим это неравенство:

$-14 + (n-1) \cdot 2,5 > 0$

$2,5(n-1) > 14$

$n-1 > \frac{14}{2,5}$

$n-1 > 5,6$

$n > 6,6$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 6,6$, это $n = 7$.

Таким образом, начиная с 7-го члена, все члены данной прогрессии будут положительными.

Ответ: начиная с номера 7.

б) Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$: $28$; $26,5$; $25$; ...

Найдем первый член $a_1$ и разность $d$ этой прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 28$.

Разность прогрессии $d$ равна:

$d = a_2 - a_1 = 26,5 - 28 = -1,5$.

Формула n-го члена для этой прогрессии будет:

$a_n = 28 + (n-1) \cdot (-1,5)$.

Нам нужно определить, с какого номера $n$ члены прогрессии будут отрицательными, то есть должно выполняться неравенство $a_n < 0$.

Составим и решим неравенство:

$28 + (n-1) \cdot (-1,5) < 0$

$28 - 1,5(n-1) < 0$

$28 < 1,5(n-1)$

$n-1 > \frac{28}{1,5}$

$n-1 > \frac{280}{15}$

$n-1 > \frac{56}{3}$

$n-1 > 18\frac{2}{3}$

$n > 18\frac{2}{3} + 1$

$n > 19\frac{2}{3}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 19\frac{2}{3}$, это $n = 20$.

Следовательно, начиная с 20-го члена, все члены данной прогрессии будут отрицательными.

Ответ: начиная с номера 20.