Номер 371, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

371 a) Найдите число членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 6, q = 3, S_n = 726$.

б) Найдите число членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 128, q = \frac{1}{2}, b_n = \frac{1}{4}$.

а) Для нахождения числа членов $n$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В данную формулу подставим известные значения: $b_1 = 6$, $q = 3$ и $S_n = 726$.

$726 = \frac{6(3^n - 1)}{3 - 1}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$726 = \frac{6(3^n - 1)}{2}$

Сократим дробь:

$726 = 3(3^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$242 = 3^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак:

$242 + 1 = 3^n$

$243 = 3^n$

Чтобы найти $n$, нужно представить число 243 в виде степени с основанием 3. Известно, что $3^5 = 243$.

$3^5 = 3^n$

Отсюда следует, что $n=5$.

Ответ: $n = 5$.

б) Для нахождения числа членов $n$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в формулу известные значения: $b_1 = 128$, $q = \frac{1}{2}$ и $b_n = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} = 128 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Чтобы найти $(\frac{1}{2})^{n-1}$, разделим обе части уравнения на 128:

$\frac{1}{4 \cdot 128} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Теперь представим левую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $2^9 = 512$, то $\frac{1}{512} = \frac{1}{2^9} = (\frac{1}{2})^9$.

$(\frac{1}{2})^9 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$9 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 9 + 1$

$n = 10$

Ответ: $n = 10$.