Номер 376, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

376 Найдите первый член убывающей арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_7+a_2=5$, $a_5 \cdot a_4=-36$.

Пусть $a_1$ — первый член искомой арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условий задачи $a_7 + a_2 = 5$ и $a_5 \cdot a_4 = -36$ составим систему уравнений. Для этого выразим указанные члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_4 = a_1 + 3d$
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_7 = a_1 + 6d$
Подставим эти выражения в условия и получим систему:
$\begin{cases} (a_1 + 6d) + (a_1 + d) = 5 \\ (a_1 + 4d)(a_1 + 3d) = -36 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:
$2a_1 + 7d = 5$
Из этого уравнения выразим $a_1$:
$2a_1 = 5 - 7d \implies a_1 = \frac{5 - 7d}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$\left(\frac{5 - 7d}{2} + 4d\right)\left(\frac{5 - 7d}{2} + 3d\right) = -36$
Приведем к общему знаменателю выражения в скобках:
$\left(\frac{5 - 7d + 8d}{2}\right)\left(\frac{5 - 7d + 6d}{2}\right) = -36$
$\left(\frac{5 + d}{2}\right)\left(\frac{5 - d}{2}\right) = -36$
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ в числителе:
$\frac{25 - d^2}{4} = -36$
Решим полученное уравнение относительно $d$:
$25 - d^2 = -144$
$d^2 = 25 + 144$
$d^2 = 169$
$d = \sqrt{169}$ или $d = -\sqrt{169}$
$d = 13$ или $d = -13$

По условию задачи, прогрессия является убывающей. Это означает, что её разность $d$ должна быть отрицательным числом. Следовательно, из двух найденных значений выбираем $d = -13$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d=-13$ в формулу для $a_1$:
$a_1 = \frac{5 - 7d}{2} = \frac{5 - 7(-13)}{2} = \frac{5 + 91}{2} = \frac{96}{2} = 48$

Ответ: 48