Номер 379, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

379 a) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 12.

б) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 8.

а)

Двузначные числа, которые делятся на 12, образуют арифметическую прогрессию. Двузначные числа — это числа от 10 до 99.

1. Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Это наименьшее двузначное число, кратное 12. $12 \times 1 = 12$. Следовательно, $a_1 = 12$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее двузначное число, кратное 12. Разделим 99 на 12: $99 : 12 = 8$ (остаток 3). Значит, наибольшее двузначное число, кратное 12, это $12 \times 8 = 96$. Итак, $a_n = 96$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 12, так как мы рассматриваем числа, кратные 12.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$96 = 12 + (n-1) \times 12$
$96 - 12 = (n-1) \times 12$
$84 = (n-1) \times 12$
$n - 1 = \frac{84}{12}$
$n - 1 = 7$
$n = 8$

5. Теперь вычислим сумму этих $n=8$ членов по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$:
$S_8 = \frac{12 + 96}{2} \times 8$
$S_8 = \frac{108}{2} \times 8$
$S_8 = 54 \times 8 = 432$

Ответ: 432

б)

Аналогично, двузначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Наименьшее двузначное число — 10. $10 : 8 = 1$ (остаток 2). Следующее число, кратное 8, — это $8 \times 2 = 16$. Итак, $a_1 = 16$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее двузначное число — 99. $99 : 8 = 12$ (остаток 3). Значит, наибольшее двузначное число, кратное 8, это $8 \times 12 = 96$. Итак, $a_n = 96$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 8.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$96 = 16 + (n-1) \times 8$
$96 - 16 = (n-1) \times 8$
$80 = (n-1) \times 8$
$n - 1 = \frac{80}{8}$
$n - 1 = 10$
$n = 11$

5. Вычислим сумму этих $n=11$ членов по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$:
$S_{11} = \frac{16 + 96}{2} \times 11$
$S_{11} = \frac{112}{2} \times 11$
$S_{11} = 56 \times 11 = 616$

Ответ: 616