Номер 382, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

382 а) Между числами 7 и 448 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

б) Между числами $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{192}$ вставьте отрицательное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

а) Обозначим искомые три последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По условию задачи, нам даны первый и третий члены: $b_1 = 7$ и $b_3 = 448$. Требуется найти средний член $b_2$, который должен быть положительным числом.

Для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется свойство: квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов. Это свойство среднего геометрического.

Формула выглядит так: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим в формулу известные значения:

$b_2^2 = 7 \cdot 448$

$b_2^2 = 3136$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $b_2$:

$b_2 = \pm\sqrt{3136}$

$b_2 = \pm 56$

По условию задачи, вставляемое число должно быть положительным, поэтому мы выбираем значение $b_2 = 56$.

Проверим, образуют ли числа 7, 56 и 448 геометрическую прогрессию. Для этого найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{56}{7} = 8$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{448}{56} = 8$

Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно и равно 8, то последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: 56

б) Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По условию, $b_1 = \frac{1}{12}$ и $b_3 = \frac{1}{192}$. Требуется найти средний член $b_2$, который должен быть отрицательным числом.

Воспользуемся свойством среднего геометрического для членов прогрессии: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим заданные значения:

$b_2^2 = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{192} = \frac{1}{12 \cdot 192} = \frac{1}{2304}$

Найдем возможные значения для $b_2$, извлекая квадратный корень:

$b_2 = \pm\sqrt{\frac{1}{2304}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2304}} = \pm\frac{1}{48}$

Согласно условию, вставляемое число должно быть отрицательным, поэтому мы выбираем значение $b_2 = -\frac{1}{48}$.

Проверим получившуюся последовательность: $\frac{1}{12}$, $-\frac{1}{48}$, $\frac{1}{192}$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/48}{1/12} = -\frac{1}{48} \cdot \frac{12}{1} = -\frac{12}{48} = -\frac{1}{4}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/192}{-1/48} = -\frac{1}{192} \cdot \frac{48}{1} = -\frac{48}{192} = -\frac{1}{4}$

Знаменатель прогрессии постоянен, следовательно, полученная последовательность является геометрической.

Ответ: $-\frac{1}{48}$