Номер 380, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

380 а) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 3.

б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 4.

а) Найдем сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 3.

Все числа, которые при делении на 8 дают в остатке 3, можно представить в виде формулы $a_k = 8k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Нам нужно найти все двузначные числа, то есть числа от 10 до 99. Найдем первое такое число. При $k=0$, $a_0 = 8 \cdot 0 + 3 = 3$ (не двузначное). При $k=1$, $a_1 = 8 \cdot 1 + 3 = 11$. Это первое двузначное число в нашей последовательности.

Теперь найдем последнее такое число. Оно должно быть меньше или равно 99. $8k + 3 \le 99$ $8k \le 96$ $k \le 12$ При $k=12$, $a_{12} = 8 \cdot 12 + 3 = 96 + 3 = 99$. Это последнее двузначное число в нашей последовательности.

Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию, у которой:

• первый член $a_1 = 11$;
• последний член $a_n = 99$;
• разность прогрессии $d = 8$.

Найдем количество членов в этой прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $99 = 11 + (n-1) \cdot 8$ $88 = (n-1) \cdot 8$ $n-1 = 11$ $n = 12$ Всего 12 таких чисел.

Теперь найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{12} = \frac{11 + 99}{2} \cdot 12 = \frac{110}{2} \cdot 12 = 55 \cdot 12 = 660$.

Ответ: 660

б) Найдем сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 4.

Все числа, которые при делении на 6 дают в остатке 4, можно представить в виде формулы $a_k = 6k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Нам нужно найти все двузначные числа, то есть числа от 10 до 99. Найдем первое такое число. При $k=0$, $a_0 = 6 \cdot 0 + 4 = 4$ (не двузначное). При $k=1$, $a_1 = 6 \cdot 1 + 4 = 10$. Это первое двузначное число в нашей последовательности.

Теперь найдем последнее такое число. Оно должно быть меньше или равно 99. $6k + 4 \le 99$ $6k \le 95$ $k \le \frac{95}{6}$, то есть $k \le 15 \frac{5}{6}$. Наибольшее целое значение для $k$ равно 15. При $k=15$, $a_{15} = 6 \cdot 15 + 4 = 90 + 4 = 94$. Это последнее двузначное число в нашей последовательности.

Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию, у которой:

• первый член $a_1 = 10$;
• последний член $a_n = 94$;
• разность прогрессии $d = 6$.

Найдем количество членов в этой прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $94 = 10 + (n-1) \cdot 6$ $84 = (n-1) \cdot 6$ $n-1 = 14$ $n = 15$ Всего 15 таких чисел.

Теперь найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{15} = \frac{10 + 94}{2} \cdot 15 = \frac{104}{2} \cdot 15 = 52 \cdot 15 = 780$.

Ответ: 780