Номер 381, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

381 a) Сумма двадцати пяти членов арифметической прогрессии равна 525. Найдите разность прогрессии, если известно, что её первый член равен -51.

б) Сумма шестнадцати членов арифметической прогрессии равна 432. Найдите первый член прогрессии, если известно, что разность прогрессии равна -2.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

По условию задачи нам дано:

$n = 25$

$S_{25} = 525$

$a_1 = -51$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти разность $d$:

$525 = \frac{2 \cdot (-51) + d(25-1)}{2} \cdot 25$

Упростим выражение:

$525 = \frac{-102 + 24d}{2} \cdot 25$

Разделим обе части уравнения на 25:

$\frac{525}{25} = \frac{-102 + 24d}{2}$

$21 = \frac{-102 + 24d}{2}$

Умножим обе части на 2:

$42 = -102 + 24d$

Перенесем -102 в левую часть:

$42 + 102 = 24d$

$144 = 24d$

Найдем $d$:

$d = \frac{144}{24}$

$d = 6$

Ответ: 6.

б) Используем ту же формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи нам дано:

$n = 16$

$S_{16} = 432$

$d = -2$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти первый член $a_1$:

$432 = \frac{2a_1 + (-2)(16-1)}{2} \cdot 16$

Упростим выражение в скобках:

$432 = \frac{2a_1 - 2 \cdot 15}{2} \cdot 16$

$432 = \frac{2a_1 - 30}{2} \cdot 16$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$432 = \frac{2(a_1 - 15)}{2} \cdot 16$

$432 = (a_1 - 15) \cdot 16$

Разделим обе части уравнения на 16:

$\frac{432}{16} = a_1 - 15$

$27 = a_1 - 15$

Перенесем -15 в левую часть:

$27 + 15 = a_1$

$a_1 = 42$

Ответ: 42.