Номер 378, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

378 a) Найдите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_3 = 10, a_{12} = 37, n = 21$.

б) Найдите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_8 = 8, a_{15} = -27, n = 10$.

а)

Чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

Сначала нам нужно найти $a_1$ и $d$. Мы знаем, что $a_3 = 10$ и $a_{12} = 37$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Запишем систему уравнений:

$a_3 = a_1 + d(3-1) \implies 10 = a_1 + 2d$

$a_{12} = a_1 + d(12-1) \implies 37 = a_1 + 11d$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 11d) - (a_1 + 2d) = 37 - 10$

$9d = 27$

$d = 3$

Теперь подставим значение $d=3$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$10 = a_1 + 2 \cdot 3$

$10 = a_1 + 6$

$a_1 = 4$

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения суммы первых 21 членов ($n=21$): $a_1=4$, $d=3$, $n=21$.

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{21} = \frac{2 \cdot 4 + 3(21-1)}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{8 + 3 \cdot 20}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{8 + 60}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{68}{2} \cdot 21$

$S_{21} = 34 \cdot 21 = 714$

Ответ: 714

б)

Аналогично пункту а), найдем сначала $a_1$ и $d$, используя данные $a_8 = 8$ и $a_{15} = -27$.

Составим систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$a_8 = a_1 + d(8-1) \implies 8 = a_1 + 7d$

$a_{15} = a_1 + d(15-1) \implies -27 = a_1 + 14d$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 7d) = -27 - 8$

$7d = -35$

$d = -5$

Подставим значение $d=-5$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$8 = a_1 + 7 \cdot (-5)$

$8 = a_1 - 35$

$a_1 = 8 + 35 = 43$

Теперь вычислим сумму первых 10 членов ($n=10$) при $a_1=43$ и $d=-5$.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 43 + (-5)(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{86 - 5 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{86 - 45}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{41}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 41 \cdot 5 = 205$

Ответ: 205