Номер 383, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

383. а) Найдите значение $p$, при котором числа $p - 3$, $\sqrt{4p}$, $p + 2$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

б) Найдите значение $p$, при котором числа $p - 5$, $\sqrt{7p}$, $p + 4$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

а)

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
В данном случае, $b_1 = p - 3$, $b_2 = \sqrt{4p}$ и $b_3 = p + 2$.
Составим уравнение, исходя из свойства прогрессии:
$(\sqrt{4p})^2 = (p - 3)(p + 2)$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $p$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, получаем:
$4p \ge 0$, откуда $p \ge 0$.

Теперь решим составленное уравнение:
$4p = p^2 + 2p - 3p - 6$
$4p = p^2 - p - 6$
$p^2 - p - 4p - 6 = 0$
$p^2 - 5p - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
Сумма корней: $p_1 + p_2 = 5$
Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = -6$
Подбором находим корни: $p_1 = 6$ и $p_2 = -1$.

Сравним полученные корни с ОДЗ ($p \ge 0$).
Корень $p_1 = 6$ удовлетворяет этому условию.
Корень $p_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, единственное подходящее значение — это $p = 6$.

Ответ: $p = 6$.

б)

Аналогично пункту а), используем характеристическое свойство геометрической прогрессии для чисел $b_1 = p - 5$, $b_2 = \sqrt{7p}$ и $b_3 = p + 4$.
Запишем равенство:
$(\sqrt{7p})^2 = (p - 5)(p + 4)$

Определим область допустимых значений для $p$. Из условия неотрицательности подкоренного выражения имеем:
$7p \ge 0$, откуда $p \ge 0$.

Решаем уравнение:
$7p = p^2 + 4p - 5p - 20$
$7p = p^2 - p - 20$
$p^2 - p - 7p - 20 = 0$
$p^2 - 8p - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней: $p_1 + p_2 = 8$
Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = -20$
Отсюда находим корни: $p_1 = 10$ и $p_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($p \ge 0$).
Корень $p_1 = 10$ удовлетворяет условию $p \ge 0$.
Корень $p_2 = -2$ не удовлетворяет условию $p \ge 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, подходит только значение $p = 10$.

Ответ: $p = 10$.