Номер 377, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

377 a) Найдите значения $t$, при которых числа $3t + 2$, $2t + 5$, $15t + 1$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

б) Найдите значение $t$, при котором числа $3t - 4$, $5t$, $4t + 10$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

а)

Для того чтобы три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух крайних. Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии: $a_1 = 3t + 2$, $a_2 = 2t + 5$ и $a_3 = 15t + 1$. Основное свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов выражается формулой: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, что эквивалентно $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим данные выражения в это равенство: $2(2t + 5) = (3t + 2) + (15t + 1)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $t$: $4t + 10 = 3t + 15t + 2 + 1$ $4t + 10 = 18t + 3$ Перенесем члены с $t$ в одну сторону, а константы — в другую: $10 - 3 = 18t - 4t$ $7 = 14t$ $t = \frac{7}{14}$ $t = \frac{1}{2}$

Проверим найденное значение. Подставим $t = \frac{1}{2}$ в выражения для членов прогрессии: $a_1 = 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} = 3.5$ $a_2 = 2(\frac{1}{2}) + 5 = 1 + 5 = 6$ $a_3 = 15(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{15}{2} + 1 = \frac{17}{2} = 8.5$ Получилась последовательность $3.5, 6, 8.5$. Разность прогрессии $d = 6 - 3.5 = 2.5$ и $8.5 - 6 = 2.5$. Разность одинакова, значит, числа действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: $t = \frac{1}{2}$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем характеристическое свойство арифметической прогрессии. Пусть даны три последовательных члена: $b_1 = 3t - 4$, $b_2 = 5t$ и $b_3 = 4t + 10$. Условие того, что эти числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, записывается как $2b_2 = b_1 + b_3$.

Подставим выражения для $b_1, b_2, b_3$ в это уравнение: $2(5t) = (3t - 4) + (4t + 10)$

Решим полученное уравнение: $10t = 3t + 4t - 4 + 10$ $10t = 7t + 6$ $10t - 7t = 6$ $3t = 6$ $t = \frac{6}{3}$ $t = 2$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $t = 2$ в исходные выражения: $b_1 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ $b_2 = 5(2) = 10$ $b_3 = 4(2) + 10 = 8 + 10 = 18$ Получилась последовательность $2, 10, 18$. Разность прогрессии $d = 10 - 2 = 8$ и $18 - 10 = 8$. Разность постоянна, следовательно, решение верно.

Ответ: $t = 2$.