Номер 370, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

370 a) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии 2; 0,5; -1; ... удовлетворяют неравенству $a_n \le -13$.

б) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии 16; 13; 10; ... удовлетворяют неравенству $a_n < -8$.

а) Для арифметической прогрессии $2; 0,5; -1; \dots$ найдем ее параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 2$. Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = 0,5 - 2 = -1,5$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения $a_1$ и $d$:
$a_n = 2 + (n-1)(-1,5)$.
Теперь нам нужно найти, начиная с какого номера $n$ все члены прогрессии удовлетворяют неравенству $a_n \le -13$. Составим и решим это неравенство:
$2 + (n-1)(-1,5) \le -13$
$2 - 1,5n + 1,5 \le -13$
$3,5 - 1,5n \le -13$
Перенесем 3,5 в правую часть:
$-1,5n \le -13 - 3,5$
$-1,5n \le -16,5$
Разделим обе части неравенства на -1,5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n \ge \frac{-16,5}{-1,5}$
$n \ge 11$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 11.
Ответ: 11

б) Для арифметической прогрессии $16; 13; 10; \dots$ найдем ее параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 16$. Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = 13 - 16 = -3$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим значения $a_1$ и $d$:
$a_n = 16 + (n-1)(-3)$.
Теперь нам нужно найти, начиная с какого номера $n$ все члены прогрессии удовлетворяют неравенству $a_n < -8$. Составим и решим это неравенство:
$16 + (n-1)(-3) < -8$
$16 - 3n + 3 < -8$
$19 - 3n < -8$
Перенесем 19 в правую часть:
$-3n < -8 - 19$
$-3n < -27$
Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n > \frac{-27}{-3}$
$n > 9$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 10.
Ответ: 10