Номер 369, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

369 а) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии -5; -1; 3; ... удовлетворяют неравенству $a_n \ge 27$.

б) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии 3; 7; 11; ... удовлетворяют неравенству $a_n > 55$.

а) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии $-5; -1; 3; \dots$ удовлетворяют неравенству $a_n \ge 27$.

Сначала найдем параметры данной арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = -5$.
Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = -1 - (-5) = 4$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим: $a_n = -5 + (n-1) \cdot 4$.

Теперь составим неравенство согласно условию задачи $a_n \ge 27$ и решим его относительно $n$:
$-5 + (n-1) \cdot 4 \ge 27$
$-5 + 4n - 4 \ge 27$
$4n - 9 \ge 27$
$4n \ge 27 + 9$
$4n \ge 36$
$n \ge \frac{36}{4}$
$n \ge 9$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом. Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $n \ge 9$, — это 9. Таким образом, начиная с 9-го номера, все члены прогрессии будут не меньше 27.
Проверим: $a_9 = -5 + (9-1) \cdot 4 = -5 + 8 \cdot 4 = -5 + 32 = 27$. $a_{10} = 27 + 4 = 31$. Условие выполняется.
Ответ: 9.

б) Определите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии $3; 7; 11; \dots$ удовлетворяют неравенству $a_n > 55$.

Сначала найдем параметры данной арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 3$.
Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами: $d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4$.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим: $a_n = 3 + (n-1) \cdot 4$.

Теперь составим неравенство согласно условию задачи $a_n > 55$ и решим его относительно $n$:
$3 + (n-1) \cdot 4 > 55$
$3 + 4n - 4 > 55$
$4n - 1 > 55$
$4n > 55 + 1$
$4n > 56$
$n > \frac{56}{4}$
$n > 14$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом. Наименьшее целое число, удовлетворяющее строгому неравенству $n > 14$, — это 15. Таким образом, начиная с 15-го номера, все члены прогрессии будут больше 55.
Проверим: $a_{14} = 3 + (14-1) \cdot 4 = 3 + 13 \cdot 4 = 3 + 52 = 55$. $a_{15} = 55 + 4 = 59$. Условие $a_n > 55$ выполняется, начиная с 15-го члена.
Ответ: 15.