Номер 366, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

366 Укажите номер данного члена геометрической прогрессии:

а) 4; 12; 36; ..., если $b_n = 972$;

б) 20; 4; 0,8; ..., если $b_n = \frac{4}{625}$.

а)

Дана геометрическая прогрессия $4; 12; 36; \ldots$, для которой нужно найти номер члена $b_n = 972$.

1. Определим первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$) прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии — это отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{4} = 3$.

2. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

3. Подставим в формулу известные значения ($b_n=972$, $b_1=4$, $q=3$) и найдем $n$:

$972 = 4 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3^{n-1} = \frac{972}{4}$

$3^{n-1} = 243$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим 243 как степень числа 3. Мы знаем, что $3^5 = 243$.

$3^{n-1} = 3^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$n-1 = 5$

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Ответ: 6.

б)

Дана геометрическая прогрессия $20; 4; 0,8; \ldots$, для которой нужно найти номер члена $b_n = \frac{4}{625}$.

1. Определим первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$) прогрессии.

Первый член прогрессии: $b_1 = 20$.

Знаменатель прогрессии:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

2. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

3. Подставим в формулу известные значения ($b_n=\frac{4}{625}$, $b_1=20$, $q=\frac{1}{5}$) и найдем $n$:

$\frac{4}{625} = 20 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 20:

$(\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{4}{625 \cdot 20}$

$(\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{4}{12500}$

Сократим дробь в правой части:

$(\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{1}{3125}$

Чтобы решить это уравнение, представим $\frac{1}{3125}$ как степень числа $\frac{1}{5}$. Мы знаем, что $5^5 = 3125$, следовательно $\frac{1}{3125} = (\frac{1}{5})^5$.

$(\frac{1}{5})^{n-1} = (\frac{1}{5})^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$n-1 = 5$

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Ответ: 6.