Номер 368, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

368 a) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии -32; -25,6; -18,2; ... неотрицательны.

б) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии 15; 12,5; 10; ... неположительны.

а)

Для решения задачи нужно определить номер члена $n$ арифметической прогрессии, начиная с которого все последующие члены будут неотрицательными, то есть удовлетворять условию $a_n \ge 0$.

Дана арифметическая прогрессия: $-32; -25,6; -18,2; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = -32$.
Найдем разность прогрессии $d$, используя первые два члена:
$d = a_2 - a_1 = -25,6 - (-32) = -25,6 + 32 = 6,4$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее известные значения: $a_n = -32 + (n-1) \cdot 6,4$.

Теперь составим и решим неравенство $a_n \ge 0$, чтобы найти номер первого неотрицательного члена:
$-32 + (n-1) \cdot 6,4 \ge 0$
$(n-1) \cdot 6,4 \ge 32$
$n-1 \ge \frac{32}{6,4}$
$n-1 \ge 5$
$n \ge 6$

Наименьшим целым номером $n$, который удовлетворяет данному условию, является $n=6$. Это значит, что начиная с 6-го члена, все члены прогрессии будут неотрицательными, так как разность прогрессии $d=6,4$ положительна.
Проверим это, вычислив 5-й и 6-й члены:
$a_5 = -32 + (5-1) \cdot 6,4 = -32 + 25,6 = -6,4$ (отрицательный).
$a_6 = -32 + (6-1) \cdot 6,4 = -32 + 32 = 0$ (неотрицательный).

Ответ: Все члены данной арифметической прогрессии неотрицательны, начиная с 6-го номера.

б)

Для решения задачи нужно определить номер члена $n$ арифметической прогрессии, начиная с которого все последующие члены будут неположительными, то есть удовлетворять условию $a_n \le 0$.

Дана арифметическая прогрессия: $15; 12,5; 10; \dots$
Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 12,5 - 15 = -2,5$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее известные значения: $a_n = 15 + (n-1) \cdot (-2,5)$.

Теперь составим и решим неравенство $a_n \le 0$, чтобы найти номер первого неположительного члена:
$15 + (n-1) \cdot (-2,5) \le 0$
$15 \le (n-1) \cdot 2,5$
$\frac{15}{2,5} \le n-1$
$6 \le n-1$
$n \ge 7$

Наименьшим целым номером $n$, который удовлетворяет данному условию, является $n=7$. Это значит, что начиная с 7-го члена, все члены прогрессии будут неположительными, так как разность прогрессии $d=-2,5$ отрицательна.
Проверим это, вычислив 6-й и 7-й члены:
$a_6 = 15 + (6-1) \cdot (-2,5) = 15 - 12,5 = 2,5$ (положительный).
$a_7 = 15 + (7-1) \cdot (-2,5) = 15 - 15 = 0$ (неположительный).

Ответ: Все члены данной арифметической прогрессии неположительны, начиная с 7-го номера.