Номер 375, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

375 Найдите разность возрастающей арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 + a_8 = 15$, $a_2 \cdot a_{12} = 56$.

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $(a_n)$, а $a_1$ — её первый член. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам даны два условия:
1) $a_6 + a_8 = 15$
2) $a_2 \cdot a_{12} = 56$

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: для любых натуральных чисел $k, l, m, p$, если $k+l = m+p$, то $a_k + a_l = a_m + a_p$.В нашем случае $6 + 8 = 14$ и $2 + 12 = 14$.Следовательно, $a_2 + a_{12} = a_6 + a_8$.

Так как $a_6 + a_8 = 15$, то и $a_2 + a_{12} = 15$.Теперь мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными $a_2$ и $a_{12}$:$\begin{cases}a_2 + a_{12} = 15 \\a_2 \cdot a_{12} = 56\end{cases}$

По обратной теореме Виета, числа $a_2$ и $a_{12}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 15t + 56 = 0$.Решим это уравнение.Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$.Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Таким образом, у нас есть два возможных варианта для пары $(a_2, a_{12})$:
1) $a_2 = 7$ и $a_{12} = 8$.
2) $a_2 = 8$ и $a_{12} = 7$.

В условии задачи сказано, что прогрессия является возрастающей. Это значит, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть разность прогрессии $d > 0$.Следовательно, для $n > m$ должно выполняться неравенство $a_n > a_m$.Поскольку $12 > 2$, то должно быть $a_{12} > a_2$.Этому условию удовлетворяет только первый вариант: $a_2 = 7$ и $a_{12} = 8$.

Теперь мы можем найти разность прогрессии $d$, используя формулу, связывающую два члена прогрессии: $a_{12} = a_2 + (12-2)d$.Подставим найденные значения $a_2$ и $a_{12}$:
$8 = 7 + 10d$
$10d = 8 - 7$
$10d = 1$
$d = \frac{1}{10} = 0.1$

Ответ: $0.1$