Страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

371 a) Найдите число членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 6, q = 3, S_n = 726$.

б) Найдите число членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 128, q = \frac{1}{2}, b_n = \frac{1}{4}$.

а) Для нахождения числа членов $n$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В данную формулу подставим известные значения: $b_1 = 6$, $q = 3$ и $S_n = 726$.

$726 = \frac{6(3^n - 1)}{3 - 1}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$726 = \frac{6(3^n - 1)}{2}$

Сократим дробь:

$726 = 3(3^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$242 = 3^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть уравнения, изменив знак:

$242 + 1 = 3^n$

$243 = 3^n$

Чтобы найти $n$, нужно представить число 243 в виде степени с основанием 3. Известно, что $3^5 = 243$.

$3^5 = 3^n$

Отсюда следует, что $n=5$.

Ответ: $n = 5$.

б) Для нахождения числа членов $n$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в формулу известные значения: $b_1 = 128$, $q = \frac{1}{2}$ и $b_n = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} = 128 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Чтобы найти $(\frac{1}{2})^{n-1}$, разделим обе части уравнения на 128:

$\frac{1}{4 \cdot 128} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Теперь представим левую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $2^9 = 512$, то $\frac{1}{512} = \frac{1}{2^9} = (\frac{1}{2})^9$.

$(\frac{1}{2})^9 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$9 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 9 + 1$

$n = 10$

Ответ: $n = 10$.

372 Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_8 - a_3 = 2$.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и формулой n-го члена арифметической прогрессии. Разность арифметической прогрессии, обозначаемая как $d$, — это постоянная величина, на которую каждый следующий член прогрессии отличается от предыдущего.

Формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии $(a_n)$ выглядит так:$a_n = a_1 + (n-1)d$,где $a_1$ — первый член прогрессии, а $n$ — номер члена.

Используя эту формулу, выразим восьмой ($a_8$) и третий ($a_3$) члены прогрессии:
Для $n=8$: $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$.
Для $n=3$: $a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$.

По условию задачи нам дано, что разность между этими членами равна 2:$a_8 - a_3 = 2$.

Теперь подставим в это уравнение полученные выражения для $a_8$ и $a_3$:$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 2$.

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы найти $d$:$a_1 + 7d - a_1 - 2d = 2$.

Как мы видим, первый член прогрессии $a_1$ сокращается:$(a_1 - a_1) + (7d - 2d) = 2$.

Приводим подобные слагаемые:$5d = 2$.

Осталось найти разность $d$, разделив обе части уравнения на 5:$d = \frac{2}{5} = 0,4$.

Краткое решение:Можно также воспользоваться свойством, что разность между n-м и m-м членами арифметической прогрессии равна $a_n - a_m = (n-m)d$.
В нашем случае $a_8 - a_3 = (8-3)d = 5d$.
Так как по условию $a_8 - a_3 = 2$, получаем то же самое уравнение $5d=2$, откуда $d = 0,4$.

Ответ: 0,4

373 Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_8 = 16$, $a_7 - a_2 = 4$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Нам даны два условия:
1) $a_5 + a_8 = 16$
2) $a_7 - a_2 = 4$

Сначала используем второе условие для нахождения разности прогрессии $d$. Выразим члены прогрессии $a_7$ и $a_2$ через $a_1$ и $d$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
Подставим эти выражения в уравнение $a_7 - a_2 = 4$:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + d) = 4$
$a_1 + 6d - a_1 - d = 4$
$5d = 4$
$d = \frac{4}{5} = 0.8$

Теперь, зная разность $d$, воспользуемся первым условием $a_5 + a_8 = 16$, чтобы найти первый член $a_1$.
Выразим $a_5$ и $a_8$ через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
Подставим эти выражения в уравнение $a_5 + a_8 = 16$:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 16$
$2a_1 + 11d = 16$

Подставим в это уравнение найденное значение $d = \frac{4}{5}$:
$2a_1 + 11 \cdot (\frac{4}{5}) = 16$
$2a_1 + \frac{44}{5} = 16$
$2a_1 = 16 - \frac{44}{5}$
Чтобы вычесть дроби, приведем 16 к знаменателю 5: $16 = \frac{16 \cdot 5}{5} = \frac{80}{5}$.
$2a_1 = \frac{80}{5} - \frac{44}{5}$
$2a_1 = \frac{36}{5}$
Теперь найдем $a_1$:
$a_1 = \frac{36}{5} \div 2$
$a_1 = \frac{36}{5 \cdot 2} = \frac{18}{5}$
$a_1 = 3.6$

Ответ: $3.6$

374 Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 + a_5 = -4$, $a_8 + a_{10} = -18$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Нам даны два условия:

1. $a_6 + a_5 = -4$
2. $a_8 + a_{10} = -18$

Выразим каждый член прогрессии из этих уравнений через $a_1$ и $d$:

• $a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
• $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
• $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
• $a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Теперь подставим эти выражения в исходные уравнения, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$).

Из первого уравнения:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 4d) = -4$

$2a_1 + 9d = -4$

Из второго уравнения:

$(a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = -18$

$2a_1 + 16d = -18$

Мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 9d = -4 \\ 2a_1 + 16d = -18 \end{cases}$

Для решения этой системы вычтем первое уравнение из второго:

$(2a_1 + 16d) - (2a_1 + 9d) = -18 - (-4)$

$2a_1 + 16d - 2a_1 - 9d = -18 + 4$

$7d = -14$

Теперь найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{-14}{7}$

$d = -2$

Ответ: -2

375 Найдите разность возрастающей арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 + a_8 = 15$, $a_2 \cdot a_{12} = 56$.

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $(a_n)$, а $a_1$ — её первый член. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам даны два условия:
1) $a_6 + a_8 = 15$
2) $a_2 \cdot a_{12} = 56$

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: для любых натуральных чисел $k, l, m, p$, если $k+l = m+p$, то $a_k + a_l = a_m + a_p$.В нашем случае $6 + 8 = 14$ и $2 + 12 = 14$.Следовательно, $a_2 + a_{12} = a_6 + a_8$.

Так как $a_6 + a_8 = 15$, то и $a_2 + a_{12} = 15$.Теперь мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными $a_2$ и $a_{12}$:$\begin{cases}a_2 + a_{12} = 15 \\a_2 \cdot a_{12} = 56\end{cases}$

По обратной теореме Виета, числа $a_2$ и $a_{12}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 15t + 56 = 0$.Решим это уравнение.Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$.Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Таким образом, у нас есть два возможных варианта для пары $(a_2, a_{12})$:
1) $a_2 = 7$ и $a_{12} = 8$.
2) $a_2 = 8$ и $a_{12} = 7$.

В условии задачи сказано, что прогрессия является возрастающей. Это значит, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть разность прогрессии $d > 0$.Следовательно, для $n > m$ должно выполняться неравенство $a_n > a_m$.Поскольку $12 > 2$, то должно быть $a_{12} > a_2$.Этому условию удовлетворяет только первый вариант: $a_2 = 7$ и $a_{12} = 8$.

Теперь мы можем найти разность прогрессии $d$, используя формулу, связывающую два члена прогрессии: $a_{12} = a_2 + (12-2)d$.Подставим найденные значения $a_2$ и $a_{12}$:
$8 = 7 + 10d$
$10d = 8 - 7$
$10d = 1$
$d = \frac{1}{10} = 0.1$

Ответ: $0.1$

376 Найдите первый член убывающей арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_7+a_2=5$, $a_5 \cdot a_4=-36$.

Пусть $a_1$ — первый член искомой арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условий задачи $a_7 + a_2 = 5$ и $a_5 \cdot a_4 = -36$ составим систему уравнений. Для этого выразим указанные члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_4 = a_1 + 3d$
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_7 = a_1 + 6d$
Подставим эти выражения в условия и получим систему:
$\begin{cases} (a_1 + 6d) + (a_1 + d) = 5 \\ (a_1 + 4d)(a_1 + 3d) = -36 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:
$2a_1 + 7d = 5$
Из этого уравнения выразим $a_1$:
$2a_1 = 5 - 7d \implies a_1 = \frac{5 - 7d}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение системы:
$\left(\frac{5 - 7d}{2} + 4d\right)\left(\frac{5 - 7d}{2} + 3d\right) = -36$
Приведем к общему знаменателю выражения в скобках:
$\left(\frac{5 - 7d + 8d}{2}\right)\left(\frac{5 - 7d + 6d}{2}\right) = -36$
$\left(\frac{5 + d}{2}\right)\left(\frac{5 - d}{2}\right) = -36$
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ в числителе:
$\frac{25 - d^2}{4} = -36$
Решим полученное уравнение относительно $d$:
$25 - d^2 = -144$
$d^2 = 25 + 144$
$d^2 = 169$
$d = \sqrt{169}$ или $d = -\sqrt{169}$
$d = 13$ или $d = -13$

По условию задачи, прогрессия является убывающей. Это означает, что её разность $d$ должна быть отрицательным числом. Следовательно, из двух найденных значений выбираем $d = -13$.

Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d=-13$ в формулу для $a_1$:
$a_1 = \frac{5 - 7d}{2} = \frac{5 - 7(-13)}{2} = \frac{5 + 91}{2} = \frac{96}{2} = 48$

Ответ: 48

377 a) Найдите значения $t$, при которых числа $3t + 2$, $2t + 5$, $15t + 1$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

б) Найдите значение $t$, при котором числа $3t - 4$, $5t$, $4t + 10$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

а)

Для того чтобы три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух крайних. Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии: $a_1 = 3t + 2$, $a_2 = 2t + 5$ и $a_3 = 15t + 1$. Основное свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов выражается формулой: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, что эквивалентно $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим данные выражения в это равенство: $2(2t + 5) = (3t + 2) + (15t + 1)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $t$: $4t + 10 = 3t + 15t + 2 + 1$ $4t + 10 = 18t + 3$ Перенесем члены с $t$ в одну сторону, а константы — в другую: $10 - 3 = 18t - 4t$ $7 = 14t$ $t = \frac{7}{14}$ $t = \frac{1}{2}$

Проверим найденное значение. Подставим $t = \frac{1}{2}$ в выражения для членов прогрессии: $a_1 = 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} = 3.5$ $a_2 = 2(\frac{1}{2}) + 5 = 1 + 5 = 6$ $a_3 = 15(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{15}{2} + 1 = \frac{17}{2} = 8.5$ Получилась последовательность $3.5, 6, 8.5$. Разность прогрессии $d = 6 - 3.5 = 2.5$ и $8.5 - 6 = 2.5$. Разность одинакова, значит, числа действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: $t = \frac{1}{2}$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем характеристическое свойство арифметической прогрессии. Пусть даны три последовательных члена: $b_1 = 3t - 4$, $b_2 = 5t$ и $b_3 = 4t + 10$. Условие того, что эти числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, записывается как $2b_2 = b_1 + b_3$.

Подставим выражения для $b_1, b_2, b_3$ в это уравнение: $2(5t) = (3t - 4) + (4t + 10)$

Решим полученное уравнение: $10t = 3t + 4t - 4 + 10$ $10t = 7t + 6$ $10t - 7t = 6$ $3t = 6$ $t = \frac{6}{3}$ $t = 2$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $t = 2$ в исходные выражения: $b_1 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ $b_2 = 5(2) = 10$ $b_3 = 4(2) + 10 = 8 + 10 = 18$ Получилась последовательность $2, 10, 18$. Разность прогрессии $d = 10 - 2 = 8$ и $18 - 10 = 8$. Разность постоянна, следовательно, решение верно.

Ответ: $t = 2$.

378 a) Найдите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_3 = 10, a_{12} = 37, n = 21$.

б) Найдите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_8 = 8, a_{15} = -27, n = 10$.

а)

Чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

Сначала нам нужно найти $a_1$ и $d$. Мы знаем, что $a_3 = 10$ и $a_{12} = 37$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Запишем систему уравнений:

$a_3 = a_1 + d(3-1) \implies 10 = a_1 + 2d$

$a_{12} = a_1 + d(12-1) \implies 37 = a_1 + 11d$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 11d) - (a_1 + 2d) = 37 - 10$

$9d = 27$

$d = 3$

Теперь подставим значение $d=3$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$10 = a_1 + 2 \cdot 3$

$10 = a_1 + 6$

$a_1 = 4$

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения суммы первых 21 членов ($n=21$): $a_1=4$, $d=3$, $n=21$.

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{21} = \frac{2 \cdot 4 + 3(21-1)}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{8 + 3 \cdot 20}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{8 + 60}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{68}{2} \cdot 21$

$S_{21} = 34 \cdot 21 = 714$

Ответ: 714

б)

Аналогично пункту а), найдем сначала $a_1$ и $d$, используя данные $a_8 = 8$ и $a_{15} = -27$.

Составим систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$a_8 = a_1 + d(8-1) \implies 8 = a_1 + 7d$

$a_{15} = a_1 + d(15-1) \implies -27 = a_1 + 14d$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 7d) = -27 - 8$

$7d = -35$

$d = -5$

Подставим значение $d=-5$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$8 = a_1 + 7 \cdot (-5)$

$8 = a_1 - 35$

$a_1 = 8 + 35 = 43$

Теперь вычислим сумму первых 10 членов ($n=10$) при $a_1=43$ и $d=-5$.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 43 + (-5)(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{86 - 5 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{86 - 45}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{41}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 41 \cdot 5 = 205$

Ответ: 205

379 a) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 12.

б) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 8.

а)

Двузначные числа, которые делятся на 12, образуют арифметическую прогрессию. Двузначные числа — это числа от 10 до 99.

1. Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Это наименьшее двузначное число, кратное 12. $12 \times 1 = 12$. Следовательно, $a_1 = 12$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее двузначное число, кратное 12. Разделим 99 на 12: $99 : 12 = 8$ (остаток 3). Значит, наибольшее двузначное число, кратное 12, это $12 \times 8 = 96$. Итак, $a_n = 96$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 12, так как мы рассматриваем числа, кратные 12.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$96 = 12 + (n-1) \times 12$
$96 - 12 = (n-1) \times 12$
$84 = (n-1) \times 12$
$n - 1 = \frac{84}{12}$
$n - 1 = 7$
$n = 8$

5. Теперь вычислим сумму этих $n=8$ членов по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$:
$S_8 = \frac{12 + 96}{2} \times 8$
$S_8 = \frac{108}{2} \times 8$
$S_8 = 54 \times 8 = 432$

Ответ: 432

б)

Аналогично, двузначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Наименьшее двузначное число — 10. $10 : 8 = 1$ (остаток 2). Следующее число, кратное 8, — это $8 \times 2 = 16$. Итак, $a_1 = 16$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее двузначное число — 99. $99 : 8 = 12$ (остаток 3). Значит, наибольшее двузначное число, кратное 8, это $8 \times 12 = 96$. Итак, $a_n = 96$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 8.

4. Найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$96 = 16 + (n-1) \times 8$
$96 - 16 = (n-1) \times 8$
$80 = (n-1) \times 8$
$n - 1 = \frac{80}{8}$
$n - 1 = 10$
$n = 11$

5. Вычислим сумму этих $n=11$ членов по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$:
$S_{11} = \frac{16 + 96}{2} \times 11$
$S_{11} = \frac{112}{2} \times 11$
$S_{11} = 56 \times 11 = 616$

Ответ: 616

380 а) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 3.

б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 4.

а) Найдем сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 3.

Все числа, которые при делении на 8 дают в остатке 3, можно представить в виде формулы $a_k = 8k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Нам нужно найти все двузначные числа, то есть числа от 10 до 99. Найдем первое такое число. При $k=0$, $a_0 = 8 \cdot 0 + 3 = 3$ (не двузначное). При $k=1$, $a_1 = 8 \cdot 1 + 3 = 11$. Это первое двузначное число в нашей последовательности.

Теперь найдем последнее такое число. Оно должно быть меньше или равно 99. $8k + 3 \le 99$ $8k \le 96$ $k \le 12$ При $k=12$, $a_{12} = 8 \cdot 12 + 3 = 96 + 3 = 99$. Это последнее двузначное число в нашей последовательности.

Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию, у которой:

• первый член $a_1 = 11$;
• последний член $a_n = 99$;
• разность прогрессии $d = 8$.

Найдем количество членов в этой прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $99 = 11 + (n-1) \cdot 8$ $88 = (n-1) \cdot 8$ $n-1 = 11$ $n = 12$ Всего 12 таких чисел.

Теперь найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{12} = \frac{11 + 99}{2} \cdot 12 = \frac{110}{2} \cdot 12 = 55 \cdot 12 = 660$.

Ответ: 660

б) Найдем сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 4.

Все числа, которые при делении на 6 дают в остатке 4, можно представить в виде формулы $a_k = 6k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Нам нужно найти все двузначные числа, то есть числа от 10 до 99. Найдем первое такое число. При $k=0$, $a_0 = 6 \cdot 0 + 4 = 4$ (не двузначное). При $k=1$, $a_1 = 6 \cdot 1 + 4 = 10$. Это первое двузначное число в нашей последовательности.

Теперь найдем последнее такое число. Оно должно быть меньше или равно 99. $6k + 4 \le 99$ $6k \le 95$ $k \le \frac{95}{6}$, то есть $k \le 15 \frac{5}{6}$. Наибольшее целое значение для $k$ равно 15. При $k=15$, $a_{15} = 6 \cdot 15 + 4 = 90 + 4 = 94$. Это последнее двузначное число в нашей последовательности.

Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию, у которой:

• первый член $a_1 = 10$;
• последний член $a_n = 94$;
• разность прогрессии $d = 6$.

Найдем количество членов в этой прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $94 = 10 + (n-1) \cdot 6$ $84 = (n-1) \cdot 6$ $n-1 = 14$ $n = 15$ Всего 15 таких чисел.

Теперь найдем сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{15} = \frac{10 + 94}{2} \cdot 15 = \frac{104}{2} \cdot 15 = 52 \cdot 15 = 780$.

Ответ: 780

381 a) Сумма двадцати пяти членов арифметической прогрессии равна 525. Найдите разность прогрессии, если известно, что её первый член равен -51.

б) Сумма шестнадцати членов арифметической прогрессии равна 432. Найдите первый член прогрессии, если известно, что разность прогрессии равна -2.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

По условию задачи нам дано:

$n = 25$

$S_{25} = 525$

$a_1 = -51$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти разность $d$:

$525 = \frac{2 \cdot (-51) + d(25-1)}{2} \cdot 25$

Упростим выражение:

$525 = \frac{-102 + 24d}{2} \cdot 25$

Разделим обе части уравнения на 25:

$\frac{525}{25} = \frac{-102 + 24d}{2}$

$21 = \frac{-102 + 24d}{2}$

Умножим обе части на 2:

$42 = -102 + 24d$

Перенесем -102 в левую часть:

$42 + 102 = 24d$

$144 = 24d$

Найдем $d$:

$d = \frac{144}{24}$

$d = 6$

Ответ: 6.

б) Используем ту же формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи нам дано:

$n = 16$

$S_{16} = 432$

$d = -2$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти первый член $a_1$:

$432 = \frac{2a_1 + (-2)(16-1)}{2} \cdot 16$

Упростим выражение в скобках:

$432 = \frac{2a_1 - 2 \cdot 15}{2} \cdot 16$

$432 = \frac{2a_1 - 30}{2} \cdot 16$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$432 = \frac{2(a_1 - 15)}{2} \cdot 16$

$432 = (a_1 - 15) \cdot 16$

Разделим обе части уравнения на 16:

$\frac{432}{16} = a_1 - 15$

$27 = a_1 - 15$

Перенесем -15 в левую часть:

$27 + 15 = a_1$

$a_1 = 42$

Ответ: 42.