Страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

331 Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите $a_8$, если $a_1 = \frac{2}{3}$, $d = -\frac{1}{3}$.

1) 3;

2) $-1\frac{2}{3}$;

3) -3;

4) -2.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

По условию задачи даны первый член $a_1 = \frac{2}{3}$ и разность $d = -\frac{1}{3}$.

Требуется найти восьмой член прогрессии ($a_8$), поэтому $n=8$. Подставим эти значения в формулу:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$a_8 = \frac{2}{3} + 7 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$

Проведем вычисления:

$a_8 = \frac{2}{3} - \frac{7}{3}$

$a_8 = \frac{2-7}{3}$

$a_8 = -\frac{5}{3}$

Полученное значение $-\frac{5}{3}$ можно записать в виде смешанного числа как $-1\frac{2}{3}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $-\frac{5}{3}$

332 Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите $a_9$, если $a_1 = -\frac{1}{4}$, $d = \frac{3}{4}$.

1) $2\frac{3}{4}$;

2) $-3\frac{1}{4}$;

3) $5\frac{3}{4}$;

4) 7.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.
В данной задаче требуется найти девятый член прогрессии, то есть $a_9$. По условию нам даны первый член $a_1 = -\frac{1}{4}$ и разность прогрессии $d = \frac{3}{4}$.
Подставим известные значения в формулу для $n=9$:
$a_9 = a_1 + (9-1)d$
$a_9 = -\frac{1}{4} + (8) \cdot \frac{3}{4}$
Теперь выполним вычисления:
$a_9 = -\frac{1}{4} + \frac{8 \cdot 3}{4}$
$a_9 = -\frac{1}{4} + \frac{24}{4}$
Так как у дробей общий знаменатель, мы можем сложить их числители:
$a_9 = \frac{-1 + 24}{4}$
$a_9 = \frac{23}{4}$
Для удобства преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$23 \div 4 = 5$ (остаток $3$)
Следовательно, $a_9 = 5\frac{3}{4}$.
Это значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $5\frac{3}{4}$

333 Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите $b_4$, если $b_1 = -3, q = \frac{1}{2}$.

1) 0,375;

2) -0,5;

3) $-\frac{3}{16}$;

4) $-\frac{3}{8}$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

В данной задаче нам нужно найти четвертый член прогрессии, то есть $b_4$. По условию, $b_1 = -3$ и $q = \frac{1}{2}$.

Подставим в формулу $n=4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Теперь подставим известные значения $b_1$ и $q$ и выполним вычисления:
$b_4 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = -3 \cdot \frac{1^3}{2^3} = -3 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$

Таким образом, четвертый член геометрической прогрессии равен $-\frac{3}{8}$.

Ответ: $-\frac{3}{8}$.

334 Последовательность $b_n$ — геометрическая прогрессия. Найдите $b_6$, если $b_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$.

1) $2\sqrt{2}$;

2) $-8$;

3) $8\sqrt{2}$;

4) $-4\sqrt{2}$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

По условию задачи даны:

$b_1 = \sqrt{2}$

$q = -\sqrt{2}$

Требуется найти шестой член прогрессии, то есть $b_6$. Подставим $n=6$ в формулу:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим известные значения $b_1$ и $q$:

$b_6 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^5$

Сначала вычислим $(-\sqrt{2})^5$. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-\sqrt{2})^5 = -(\sqrt{2})^5 = -(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})$

Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:

$-(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = -(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу для $b_6$:

$b_6 = \sqrt{2} \cdot (-4\sqrt{2})$

$b_6 = -4 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})$

$b_6 = -4 \cdot 2$

$b_6 = -8$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: -8.

335 Найдите седьмой член арифметической прогрессии -24; -21; -18; ...

1) -6;

2) -42;

3) -3;

4) 3.

Для решения задачи необходимо найти седьмой член $a_7$ арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия задана своими первыми членами: $-24; -21; -18; \dots$

Первый член прогрессии $a_1$ равен $-24$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Для ее нахождения вычтем из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -21 - (-24) = -21 + 24 = 3$.

Теперь используем формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Нам нужно найти седьмой член, поэтому $n=7$. Подставим известные значения $a_1 = -24$ и $d = 3$ в формулу:
$a_7 = -24 + (7-1) \times 3$
$a_7 = -24 + 6 \times 3$
$a_7 = -24 + 18$
$a_7 = -6$

Седьмой член данной арифметической прогрессии равен -6.

Ответ: -6.

336 Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии 12; 8; 4; ...

1) 36;

2) -32;

3) 56;

4) -36.

Для того чтобы найти двенадцатый член арифметической прогрессии, необходимо сначала определить её первый член и разность.

Арифметическая прогрессия задана последовательностью: 12; 8; 4; ...

Первый член прогрессии $a_1$ равен 12.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый последующий член отличается от предыдущего. Найдем её, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 8 - 12 = -4$

Для проверки можно также вычесть из третьего члена второй:

$d = a_3 - a_2 = 4 - 8 = -4$

Разность прогрессии $d = -4$.

Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Нам нужно найти двенадцатый член, то есть $n = 12$. Подставим известные значения $a_1 = 12$ и $d = -4$ в формулу:

$a_{12} = 12 + (12 - 1) \cdot (-4)$

$a_{12} = 12 + 11 \cdot (-4)$

$a_{12} = 12 - 44$

$a_{12} = -32$

Ответ: -32

337 Найдите шестой член геометрической прогрессии 6; 3; 1,5; ...

1) $ \frac{3}{16} $;

2) 0,6;

3) 192;

4) 60.

Для того чтобы найти шестой член геометрической прогрессии, нам необходимо сначала определить ее знаменатель $q$. Геометрическая прогрессия задана своими первыми членами: $b_1 = 6$, $b_2 = 3$, $b_3 = 1,5$.

Знаменатель прогрессии $q$ находится путем деления любого члена прогрессии на предыдущий. Возьмем второй и первый члены:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Для проверки можно взять третий и второй члены:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1,5}{3} = \frac{1}{2}$

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Нам нужно найти шестой член прогрессии, то есть $n=6$. Подставим в формулу известные значения $b_1=6$ и $q=\frac{1}{2}$:

$b_6 = 6 \cdot (\frac{1}{2})^{6-1} = 6 \cdot (\frac{1}{2})^5$

Вычислим значение $(\frac{1}{2})^5$:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для $b_6$:

$b_6 = 6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{32}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 2:

$b_6 = \frac{6 \div 2}{32 \div 2} = \frac{3}{16}$

Таким образом, шестой член данной геометрической прогрессии равен $\frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$

338 Найдите седьмой член геометрической прогрессии -10; 20; -40; ...

1) 1280;

2) $- \frac{5}{64}$;

3) $- \frac{5}{32}$;

4) -640.

Для нахождения седьмого члена геометрической прогрессии $(b_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер искомого члена.

Заданная геометрическая прогрессия: $-10; 20; -40; ...$

1. Находим первый член прогрессии $b_1$.
Из последовательности видно, что первый член $b_1 = -10$.

2. Находим знаменатель прогрессии $q$.
Знаменатель $q$ равен отношению второго члена к первому (или любого последующего к предыдущему): $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{20}{-10} = -2$.

3. Находим седьмой член прогрессии $b_7$.
Подставляем известные значения $b_1 = -10$, $q = -2$ и $n=7$ в формулу n-го члена:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$
$b_7 = -10 \cdot (-2)^6$
Сначала вычисляем степень: $(-2)^6 = 64$ (так как степень чётная, результат положительный).
Далее выполняем умножение:
$b_7 = -10 \cdot 64 = -640$.

Седьмой член данной геометрической прогрессии равен -640.

Ответ: -640.

339 Найдите разность арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_1 = 21$, $a_8 = 49$.

1) 4; 2) 10; 3) -4; 4) 3,5.

Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, а $n$ — номер члена.

Из условия задачи нам известно:
- первый член прогрессии $a_1 = 21$;
- восьмой член прогрессии $a_8 = 49$.

Подставим эти данные в формулу для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d$
$49 = 21 + 7d$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $d$:
$7d = 49 - 21$
$7d = 28$
$d = \frac{28}{7}$
$d = 4$

Разность арифметической прогрессии равна 4. Этот результат соответствует варианту 1) из предложенных.

Ответ: 4

340 Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -18$, $a_{10} = 18$.

1) 0;

2) 4;

3) -4;

4) 3,6.

Для того чтобы найти разность арифметической прогрессии ($d$), необходимо использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — это n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $n$ — номер члена, а $d$ — искомая разность.

По условию задачи мы имеем следующие данные:

• Первый член прогрессии: $a_1 = -18$.
• Десятый член прогрессии: $a_{10} = 18$.
• Номер члена: $n = 10$.

Подставим известные значения в формулу для n-го члена, чтобы найти $d$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d$

$18 = -18 + 9d$

Теперь решим это уравнение. Перенесем $-18$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$18 + 18 = 9d$

$36 = 9d$

Чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на 9:

$d = \frac{36}{9}$

$d = 4$

Таким образом, разность данной арифметической прогрессии равна 4.

Ответ: 4.