Страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. Объясните, в чём разница между общим рядом данных и рядом данных конкретного измерения.

Разница между этими двумя понятиями является фундаментальной в статистике и анализе данных. Для более точного объяснения введем синонимы, которые общеприняты в научной среде: общий ряд данных — это генеральная совокупность, а ряд данных конкретного измерения — это выборка (или выборочная совокупность).

Общий ряд данных (генеральная совокупность)
Это полный набор всех возможных объектов, событий или измерений, которые обладают некоторым общим интересующим нас признаком. Генеральная совокупность включает в себя абсолютно все элементы, которые мы хотели бы изучить.

• Пример: Если мы изучаем средний вес яблок в саду, то генеральной совокупностью будут все яблоки, которые выросли или вырастут в этом саду в данном сезоне.
• Характеристики: Обычно генеральная совокупность слишком велика для сплошного исследования (может быть даже бесконечной). Её числовые характеристики, такие как истинное среднее значение (математическое ожидание $ \mu $) или истинная дисперсия $ \sigma^2 $, называются параметрами. Эти параметры, как правило, неизвестны.

Ряд данных конкретного измерения (выборка)
Это некоторая часть (подмножество) объектов, отобранных из генеральной совокупности для непосредственного анализа. Это те данные, которые мы реально собираем и обрабатываем в ходе эксперимента или наблюдения.

• Пример: Взяв из того же сада 100 случайных яблок и взвесив их, мы получим ряд данных конкретного измерения, то есть выборку.
• Характеристики: Выборка всегда имеет конечный размер. На основе данных выборки вычисляются её числовые характеристики, например, выборочное среднее $ \bar{x} $ или выборочная дисперсия $ s^2 $. Они называются статистиками и используются для оценки неизвестных параметров генеральной совокупности.

Таким образом, основное различие заключается в масштабе и цели:

• Общий ряд данных — это все интересующие нас объекты (целое).
• Ряд данных конкретного измерения — это часть этих объектов, которую мы реально изучаем (часть целого).
• Мы анализируем выборку, чтобы сделать статистически обоснованные выводы обо всей генеральной совокупности.

Ответ: Разница между общим рядом данных (генеральной совокупностью) и рядом данных конкретного измерения (выборкой) состоит в том, что генеральная совокупность представляет собой полный набор всех возможных наблюдений, в то время как выборка — это лишь ограниченная, практически полученная часть этой совокупности. Анализ выборки позволяет сделать выводы и оценить характеристики (параметры) всей генеральной совокупности, сплошное исследование которой зачастую невозможно или нецелесообразно.

4. Сгруппируйте следующий ряд данных:

$2, 3, 4, 5, 2, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 4, 3,$

$3, 1, 2, 2.$

Каков объём этого ряда?

Сгруппируйте следующий ряд данных:

Группировка статистического ряда данных подразумевает подсчет частоты, с которой встречается каждое уникальное значение в этом ряду.

Дан следующий ряд: 2, 3, 4, 5, 2, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 4, 3, 3, 1, 2, 2.

Для группировки последовательно пройдемся по ряду и подсчитаем количество вхождений каждого числа:

• Число 1 встречается: 3 раза.
• Число 2 встречается: 6 раз.
• Число 3 встречается: 7 раз.
• Число 4 встречается: 5 раз.
• Число 5 встречается: 4 раза.

Результаты группировки удобно представить в виде таблицы частот, где каждому значению (варианте) ставится в соответствие его частота (количество повторений).

Ответ: Группировка данных по частоте их появления: число 1 – 3 раза, число 2 – 6 раз, число 3 – 7 раз, число 4 – 5 раз, число 5 – 4 раза.

Каков объём этого ряда?

Объём ряда данных – это общее количество всех элементов (наблюдений) в ряду.

Чтобы найти объём, можно использовать один из двух способов:

1. Просто пересчитать все числа в исходном ряду данных. В ряду 2, 3, 4, 5, 2, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 4, 3, 3, 1, 2, 2 содержится 25 элементов.
2. Сложить частоты всех уникальных значений, полученные при группировке. Объём ряда $N$ равен сумме всех частот $n_i$.

$N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5$

$N = 3 + 6 + 7 + 5 + 4 = 25$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 25.

5. Перечислите все варианты ряда данных из вопроса 4. Какая из этих вариант встретилась чаще всего? Какова её кратность?

Для решения этой задачи необходим ряд данных из вопроса 4, который не предоставлен. Поэтому, для демонстрации хода решения, воспользуемся гипотетическим рядом данных.

Предположим, ряд данных из вопроса 4 выглядит следующим образом: $3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 3$.

Перечислите все варианты ряда данных

Варианты — это уникальные, неповторяющиеся значения, из которых состоит ряд данных. Чтобы их найти, нужно выписать все различные числа из нашего ряда. Для удобства расположим их в порядке возрастания.

В ряду $3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 3$ встречаются следующие уникальные числа (варианты): 2, 3, 4, 5.

Какая из этих вариант встретилась чаще всего? Какова её кратность?

Чтобы определить, какая варианта встречается чаще всего (то есть найти моду ряда), и какова её кратность (частота), необходимо подсчитать, сколько раз каждая варианта появляется в исходном ряду.

Произведем подсчет для нашего ряда:
- Варианта 2 встречается 2 раза.
- Варианта 3 встречается 4 раза.
- Варианта 4 встречается 5 раз.
- Варианта 5 встречается 3 раза.

Сравнив частоты, мы видим, что варианта 4 имеет наибольшую частоту.

Следовательно, чаще всего встретилась варианта 4. Её кратность (количество повторений) равна 5.

Ответ: Варианты ряда данных: 2, 3, 4, 5. Чаще всего встречается варианта 4, её кратность — 5.

6. Что называется вариантой измерения (вариантой ряда данных)?

В статистике и теории измерений вариантой измерения (или вариантой ряда данных) называют каждое отдельное, конкретное значение, которое принимает исследуемый признак в ряду наблюдений. Проще говоря, это каждое уникальное значение, которое встретилось в наборе данных (выборке).

Понятие "варианта" является фундаментальным для упорядочивания и анализа данных. Когда мы собираем данные, например, измеряя рост, вес, температуру или любой другой показатель, мы получаем набор чисел, который называется исходным рядом данных. Варианты — это те значения из этого ряда, которые не повторяются, если рассматривать их как уникальные элементы.

Пример:

Предположим, у 10 абитуриентов спросили, сколько баллов они набрали на экзамене. Были получены следующие ответы (исходный ряд данных):

85, 92, 78, 85, 92, 95, 78, 85, 90, 92

В этом наборе 10 измерений. Чтобы найти варианты, нужно выделить все уникальные значения и, как правило, расположить их в порядке возрастания (ранжировать).

Вариантами для этого ряда данных будут:

78, 85, 90, 92, 95

Каждая варианта, которую принято обозначать как $x_i$, характеризуется своей частотой $n_i$ — числом, которое показывает, сколько раз данная варианта встретилась в исходном ряду данных.

• Для варианты $x_1 = 78$, частота $n_1 = 2$ (встречается 2 раза).
• Для варианты $x_2 = 85$, частота $n_2 = 3$ (встречается 3 раза).
• Для варианты $x_3 = 90$, частота $n_3 = 1$ (встречается 1 раз).
• Для варианты $x_4 = 92$, частота $n_4 = 3$ (встречается 3 раза).
• Для варианты $x_5 = 95$, частота $n_5 = 1$ (встречается 1 раз).

Совокупность упорядоченных вариант с соответствующими им частотами образует вариационный ряд (или частотное распределение), который является основой для дальнейшего статистического анализа: вычисления среднего значения, моды, медианы, дисперсии и построения графиков (гистограмм, полигонов частот).

Ответ: Варианта измерения (варианта ряда данных) — это отдельное, уникальное значение признака, зафиксированное в совокупности наблюдений (в выборке).

7. Дайте определение частоты вариант. Почему частота не может быть больше единицы?

Дайте определение частоты варианты. В статистике под вариантой ($x_i$) понимают отдельное значение признака в совокупности данных (например, конкретный рост студента в группе или оценка за экзамен). Количество раз, которое данная варианта встречается в выборке, называется ее абсолютной частотой или частотностью ($n_i$).
Частота (или, более точно, относительная частота) варианты — это отношение ее абсолютной частоты к общему числу наблюдений (объему выборки $N$). Она показывает, какую долю от общего числа наблюдений составляет данная варианта. Формула для расчета частоты ($w_i$) выглядит так:
$w_i = \frac{n_i}{N}$
где $n_i$ — абсолютная частота варианты, а $N$ — общее число наблюдений в выборке ($N = \sum n_i$). Частоту также можно выражать в процентах, умножив полученное значение на 100.
Ответ: Частота варианты — это отношение числа появлений этой варианты к общему числу всех наблюдений в выборке.

Почему частота не может быть больше единицы? Частота не может быть больше единицы, так как она по своей сути представляет собой долю части от целого. В формуле для расчета частоты $w_i = \frac{n_i}{N}$ числитель $n_i$ — это количество появлений одной конкретной варианты (часть), а знаменатель $N$ — это общее количество всех наблюдений в выборке (целое).
По определению, количество появлений одной конкретной варианты ($n_i$) не может превышать общее количество всех наблюдений ($N$), поскольку эта варианта сама является частью всей совокупности наблюдений. Таким образом, всегда выполняется неравенство: $0 \le n_i \le N$.
Если разделить все части этого неравенства на $N$ (которое является положительным числом, так как выборка не пуста), мы получим:
$\frac{0}{N} \le \frac{n_i}{N} \le \frac{N}{N}$
Что эквивалентно:
$0 \le w_i \le 1$
Следовательно, частота ($w_i$) всегда является числом в диапазоне от 0 до 1 включительно. Она равна 1 только в том случае, если все элементы выборки одинаковы ($n_i = N$), и равна 0, если данная варианта в выборке отсутствует ($n_i = 0$).
Ответ: Частота не может быть больше единицы, потому что она является отношением числа появлений конкретной варианты (часть) к общему числу всех наблюдений (целое), а часть не может быть больше целого.

8. Почему сумма частот всех вариант измерения всегда равна единице?

Вопрос касается относительных частот, так как именно их сумма всегда равна единице. Сумма же абсолютных частот равна общему числу всех измерений. Разберем это подробно.

В статистике при анализе результатов измерений (или наблюдений) используются следующие понятия:

• Варианта – это один из возможных результатов (значений), который может быть получен в ходе измерения. Например, при подбрасывании кубика варианты – это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Абсолютная частота ($n_i$) – это число, которое показывает, сколько раз конкретная варианта ($x_i$) встретилась в серии измерений.
• Общее число измерений ($N$) – это общее количество всех проведенных измерений. Оно равно сумме абсолютных частот всех без исключения вариант: $N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$, где $k$ – количество различных вариант.
• Относительная частота ($W_i$) – это отношение абсолютной частоты варианты к общему числу измерений. Относительная частота показывает, какую долю или часть от общего числа измерений составляет данная варианта. Она вычисляется по формуле:
  $W_i = \frac{n_i}{N}$

Теперь докажем, почему сумма относительных частот всех вариант всегда равна единице.

Пусть у нас есть $k$ различных вариант ($x_1, x_2, \dots, x_k$) с соответствующими абсолютными частотами ($n_1, n_2, \dots, n_k$) и относительными частотами ($W_1, W_2, \dots, W_k$).

Сумма относительных частот всех этих вариант записывается как:
$\sum W_i = W_1 + W_2 + \dots + W_k$

Подставим в это выражение формулу для каждой относительной частоты:
$\sum W_i = \frac{n_1}{N} + \frac{n_2}{N} + \dots + \frac{n_k}{N}$

Так как у всех слагаемых общий знаменатель $N$, мы можем сложить их числители:
$\sum W_i = \frac{n_1 + n_2 + \dots + n_k}{N}$

Как мы определили ранее, сумма абсолютных частот всех вариант ($n_1 + n_2 + \dots + n_k$) по определению равна общему числу измерений $N$.

Следовательно, мы можем заменить числитель в нашей дроби на $N$:
$\sum W_i = \frac{N}{N}$

Любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно единице.
$\sum W_i = 1$

Таким образом, сумма относительных частот всех возможных исходов всегда равна 1, что логично, так как она представляет собой сумму долей, составляющих одно целое (100% всех измерений).

Пример: Предположим, мы провели опрос 50 студентов об их оценках за экзамен. Результаты таковы:

• Оценка «5»: 10 студентов (абсолютная частота $n_1=10$)
• Оценка «4»: 25 студентов (абсолютная частота $n_2=25$)
• Оценка «3»: 15 студентов (абсолютная частота $n_3=15$)

Общее число измерений (студентов): $N = 10 + 25 + 15 = 50$.

Найдем относительные частоты:

• $W_1$ (оценка «5») = $\frac{10}{50} = 0.2$
• $W_2$ (оценка «4») = $\frac{25}{50} = 0.5$
• $W_3$ (оценка «3») = $\frac{15}{50} = 0.3$

Просуммируем относительные частоты:
$W_1 + W_2 + W_3 = 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0$

Сумма равна единице, что и требовалось показать.

Ответ: Сумма частот (правильнее говорить, относительных частот) всех вариант измерения всегда равна единице, потому что она представляет собой сумму долей всех возможных результатов. Каждая относительная частота — это доля конкретного результата в общем числе измерений ($W_i = n_i/N$). Суммирование всех этих долей эквивалентно сложению всех частей, составляющих единое целое. Математически это объясняется тем, что сумма относительных частот представляет собой дробь, в числителе которой находится сумма абсолютных частот всех вариант (что равно общему числу измерений $N$), а в знаменателе — то же самое общее число измерений $N$. В результате получается $\frac{N}{N} = 1$.

9. Какая из вариант называется модой измерения (модой ряда данных)?

Модой измерения (или модой ряда данных), обозначаемой как $Mo$, называется та варианта (то есть значение в наборе данных), которая встречается в этом наборе наиболее часто. Мода является одной из мер центральной тенденции, которая показывает наиболее типичное или "популярное" значение в выборке.

Для нахождения моды в дискретном ряду данных необходимо подсчитать частоту появления каждой варианты.

• Ряд с одной модой (унимодальный). Например, в ряду данных {2, 6, 7, 6, 1, 3, 6} варианта "6" встречается 3 раза, что чаще, чем любая другая варианта. Следовательно, мода этого ряда равна 6.
• Ряд с несколькими модами (мультимодальный). Если две или более варианты имеют одинаковую и при этом наибольшую частоту, то все они являются модами. Например, в ряду {5, 2, 3, 2, 5, 4, 1} варианты "2" и "5" встречаются по два раза каждая. Это максимальная частота, поэтому у ряда две моды: 2 и 5. Такой ряд называется бимодальным.
• Ряд без моды. Если все варианты в ряду встречаются одинаковое количество раз, то считается, что такой ряд данных моды не имеет. Например, в ряду {15, 25, 35, 45, 55} все значения встречаются по одному разу, поэтому мода отсутствует.

В случае с интервальным рядом распределения (сгруппированными данными) мода вычисляется по формуле после определения модального интервала (интервала с наибольшей частотой):
$Mo = x_0 + h \cdot \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})}$
где:
$x_0$ — нижняя граница модального интервала;
$h$ — ширина модального интервала;
$f_m$ — частота модального интервала;
$f_{m-1}$ — частота интервала, который предшествует модальному;
$f_{m+1}$ — частота интервала, который следует за модальным.

Ответ: Модой измерения (модой ряда данных) называется варианта, которая встречается в ряду данных наиболее часто.

10. Может ли кратность варианты быть равной $0$? Ответ обоснуйте.

Нет, кратность варианты не может быть равной 0. Обоснование этого утверждения строится на определениях основных понятий в статистике.

Варианта — это значение признака, которое наблюдается в выборке. То есть, чтобы какое-либо значение считалось вариантой, оно должно встретиться в ряду данных хотя бы один раз.

Кратность варианты (или абсолютная частота) — это число, показывающее, сколько раз конкретная варианта встречается в исследуемой совокупности данных. Поскольку кратность является результатом подсчета появлений, она может быть только целым положительным числом ($n \ge 1$).

Таким образом, если мы говорим о «кратности варианты», мы уже подразумеваем, что это значение (варианта) присутствует в выборке. Если бы кратность какого-либо значения была равна 0, это означало бы, что оно ни разу не встретилось в данных. А если значение не встретилось, оно по определению не может называться вариантой для этой конкретной выборки.

Например, рассмотрим ряд данных об оценках студентов: {5, 4, 4, 5, 3, 4}.
В этом ряду вариантами являются значения 3, 4 и 5.
Их кратности:
- Кратность варианты 3 равна 1.
- Кратность варианты 4 равна 3.
- Кратность варианты 5 равна 2.
Оценка «2» в этой выборке не встречается. Можно сказать, что ее кратность равна 0, но именно поэтому «2» не является вариантой для данного ряда данных.

Ответ: Нет, кратность варианты не может быть равной 0. По определению, варианта — это значение, которое присутствует в выборке, а ее кратность — это число появлений этого значения. Если значение присутствует, его кратность должна быть как минимум 1. Если же кратность какого-либо значения равна 0, то это значение в выборке отсутствует и, следовательно, не является ее вариантой.

11. Расскажите, как по сгруппированному ряду данных составить таблицу распределения.

Для того чтобы составить таблицу распределения по сгруппированному ряду данных, необходимо выполнить последовательность шагов, которые позволяют systematize и проанализировать информацию. Сгруппированный ряд данных — это данные, уже разделенные на классы или интервалы, для каждого из которых известна его частота (количество попавших в него наблюдений).

Процесс создания таблицы распределения включает следующие этапы:

1. Определение интервалов и частот. Основой таблицы служат уже имеющиеся интервалы и соответствующие им абсолютные частоты ($n_i$). Это первые два столбца будущей таблицы.
2. Расчет общего числа наблюдений (объема выборки). Необходимо просуммировать все абсолютные частоты, чтобы найти общее количество данных ($N$).
   $N = \sum_{i=1}^{k} n_i$, где $k$ — количество интервалов.
3. Расчет относительных частот ($W_i$). Для каждого интервала вычисляется его доля в общем объеме данных. Это делается путем деления абсолютной частоты интервала на общее число наблюдений.
   $W_i = \frac{n_i}{N}$
   Относительные частоты могут быть выражены в долях единицы или в процентах (умножением на 100%). Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 (или 100%).
4. Расчет накопленных (кумулятивных) частот ($N_{cum}$). Накопленная частота показывает, сколько наблюдений имеет значение, меньшее или равное верхней границе данного интервала.
   • Для первого интервала накопленная частота равна его абсолютной частоте.
   • Для каждого следующего интервала накопленная частота равна сумме его абсолютной частоты и накопленной частоты предыдущего интервала.

   Накопленная частота последнего интервала всегда равна общему объему выборки $N$.

5. Расчет накопленных относительных частот ($W_{cum}$). Этот показатель рассчитывается аналогично накопленным частотам, но на основе относительных частот.
   • Для первого интервала накопленная относительная частота равна его относительной частоте.
   • Для каждого следующего интервала она равна сумме его относительной частоты и накопленной относительной частоты предыдущего интервала.

   Накопленная относительная частота последнего интервала всегда равна 1 (или 100%).

Пример:

Предположим, у нас есть данные о весе 40 спортсменов, сгруппированные по интервалам:

• 60-65 кг: 4 спортсмена
• 65-70 кг: 10 спортсменов
• 70-75 кг: 15 спортсменов
• 75-80 кг: 8 спортсменов
• 80-85 кг: 3 спортсмена

Общий объем выборки: $N = 4 + 10 + 15 + 8 + 3 = 40$.

Составим таблицу распределения:

Полученная таблица наглядно показывает распределение данных и позволяет легко анализировать их структуру.

Ответ: Чтобы составить таблицу распределения по сгруппированному ряду данных, нужно создать таблицу, в которой для каждого интервала (группы) последовательно указываются: 1) сам интервал; 2) абсолютная частота ($n_i$) — количество данных в интервале; 3) относительная частота ($W_i = n_i/N$), где $N$ — общее число данных; 4) накопленная частота ($N_{cum}$) — сумма частот текущего и всех предыдущих интервалов; 5) накопленная относительная частота ($W_{cum}$) — сумма относительных частот текущего и всех предыдущих интервалов.

12. Расскажите, как по таблице распределения данных нарисовать полигон распределения.

Полигон распределения (или полигон частот) — это ломаная линия, которая используется для графического представления статистических данных. Он строится в прямоугольной системе координат и наглядно показывает характер распределения признака. Полигон особенно удобен, когда нужно сравнить несколько распределений на одном графике.

Чтобы построить полигон распределения по таблице распределения данных, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Подготовка системы координат.

   Начертите прямоугольную систему координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения исследуемого признака ($x$), а на вертикальной оси (оси ординат) — соответствующие им частоты ($f$) или относительные частоты.

2. Определение координат точек.

   Для каждой группы данных из таблицы распределения находится точка на координатной плоскости. Способ определения ее координат зависит от типа данных:

   • Для дискретного ряда распределения: если в таблице даны конкретные значения признака $x_1, x_2, \ldots, x_k$ и их частоты $f_1, f_2, \ldots, f_k$, то строятся точки с координатами $(x_1, f_1), (x_2, f_2), \ldots, (x_k, f_k)$.
   • Для интервального ряда распределения: если данные сгруппированы по интервалам, то для каждого интервала сначала находится его середина. Для интервала от $a$ до $b$ середина вычисляется как $x_{сер} = (a+b)/2$. Затем строятся точки, у которых абсциссой является середина интервала, а ординатой — частота, соответствующая этому интервалу.
3. Соединение точек.

   Все полученные точки последовательно соединяются отрезками прямых линий. В результате получается ломаная линия.

4. Замыкание полигона.

   Для завершенности графика ломаную линию обычно замыкают на оси абсцисс. Для этого к набору точек добавляют две дополнительные точки с нулевой частотой. Первая точка соответствует середине гипотетического интервала, предшествующего первому, а вторая — середине гипотетического интервала, следующего за последним. Крайние точки ломаной соединяют с этими новыми точками на оси абсцисс.

Пример построения для интервального ряда:

Рассмотрим таблицу распределения сотрудников по стажу работы:

Построение полигона:

1. Отмечаем точки с координатами, где $x$ — середина интервала, а $y$ — частота: $(2.5, 10)$, $(7.5, 25)$, $(12.5, 15)$, $(17.5, 5)$.
2. Для замыкания полигона определяем середины соседних "пустых" интервалов. Ширина интервала равна 5. Предшествующий интервал: [-5, 0), его середина -2.5. Следующий интервал: [20, 25), его середина 22.5. Добавляем точки $(-2.5, 0)$ и $(22.5, 0)$.
3. Последовательно соединяем точки отрезками: $(-2.5, 0) \rightarrow (2.5, 10) \rightarrow (7.5, 25) \rightarrow (12.5, 15) \rightarrow (17.5, 5) \rightarrow (22.5, 0)$.

Полученная замкнутая ломаная линия является искомым полигоном распределения.

Ответ: Для построения полигона распределения по таблице данных необходимо: 1) В системе координат на оси абсцисс отложить значения признака (для интервального ряда — середины интервалов), а на оси ординат — частоты. 2) Отметить точки с соответствующими координатами. 3) Последовательно соединить отмеченные точки отрезками. 4) Замкнуть полученную ломаную, соединив ее крайние точки с точками на оси абсцисс, соответствующими серединам соседних гипотетических интервалов с нулевой частотой.

13. Сформулируйте два правила нахождения среднего значения.

Правило 1: Среднее арифметическое

Среднее арифметическое является наиболее распространенным способом нахождения среднего значения для набора чисел. Для его вычисления необходимо выполнить два действия: сначала найти сумму всех чисел в наборе, а затем разделить эту сумму на количество этих чисел.

Формула для набора из $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ выглядит следующим образом, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Например, чтобы найти среднее арифметическое чисел 3, 7 и 8, нужно их сложить ($3 + 7 + 8 = 18$) и разделить на их количество, то есть на 3. Получим $18 / 3 = 6$.

Ответ: Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все значения в наборе и разделить полученную сумму на их количество.

Правило 2: Среднее арифметическое взвешенное

Данное правило используется, когда отдельные значения в наборе имеют разную "важность" или "вес". Например, при вычислении средней оценки за семестр, оценка за экзамен может быть важнее (иметь больший вес), чем оценка за домашнюю работу.

Для расчета среднего взвешенного каждое значение умножается на его вес. Затем все полученные произведения складываются, а итоговая сумма делится на сумму всех весов.

Формула для набора значений $x_1, x_2, \dots, x_k$ с соответствующими весами $w_1, w_2, \dots, w_k$ выглядит так, где $\bar{x}_w$ — среднее взвешенное:

$\bar{x}_w = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \dots + x_k w_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{k} w_i}$

Например, у спортсмена есть три результата в прыжках в длину: 7.5 м (вес 2), 7.8 м (вес 3) и 7.2 м (вес 1). Чтобы найти средний взвешенный результат, вычислим:
Сумма произведений: $(7.5 \cdot 2) + (7.8 \cdot 3) + (7.2 \cdot 1) = 15 + 23.4 + 7.2 = 45.6$.
Сумма весов: $2 + 3 + 1 = 6$.
Средний взвешенный результат: $45.6 / 6 = 7.6$ м.

Ответ: Чтобы найти среднее взвешенное, необходимо каждое значение умножить на его вес, сложить полученные произведения и разделить итоговую сумму на сумму всех весов.

14. Найдите среднее значение и медиану для ряда из вопроса 4.

Задача требует найти среднее значение и медиану для числового ряда из вопроса 4. Поскольку сам ряд в данном вопросе не предоставлен, мы решим задачу на примере гипотетического ряда данных. Предположим, что в вопросе 4 был указан следующий ряд чисел: 5, 2, 8, 2, 7, 4, 5.

Среднее значение

Среднее значение (или среднее арифметическое) ряда — это сумма всех его элементов, деленная на их количество.

1. Найдем сумму всех чисел в ряду:
$5 + 2 + 8 + 2 + 7 + 4 + 5 = 33$

2. Посчитаем количество элементов в ряду. Всего в ряду 7 чисел, следовательно, $n = 7$.

3. Разделим сумму на количество элементов, чтобы найти среднее значение $(\bar{x})$:
$\bar{x} = \frac{33}{7} \approx 4.71$

Ответ: среднее значение ряда примерно равно 4.71.

Медиана

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного (отсортированного) набора данных.

1. Сначала необходимо упорядочить ряд чисел по возрастанию:
2, 2, 4, 5, 5, 7, 8

2. Теперь нужно найти элемент, который находится ровно посередине. Поскольку количество элементов в ряду нечетное (7), медианой будет число, стоящее в центре. Номер этого элемента можно найти по формуле $\frac{n+1}{2}$, где $n$ — количество элементов.
Позиция медианы = $\frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

3. Элемент на 4-й позиции в упорядоченном ряду — это 5.
2, 2, 4, 5, 5, 7, 8

Ответ: медиана ряда равна 5.

15. Что такое дисперсия распределения данных?

Определение дисперсии

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) — это мера разброса или изменчивости данных в статистике и теории вероятностей. Она показывает, насколько сильно значения в наборе данных отклоняются от своего среднего значения. Иными словами, дисперсия — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от их средней величины.

Зачем нужна дисперсия?

Дисперсия позволяет количественно оценить, насколько «скученно» или «разбросанно» расположены данные.
- Низкая дисперсия (близкая к нулю) означает, что все значения в наборе данных очень близки друг к другу и к среднему значению. Распределение данных является «узким».
- Высокая дисперсия означает, что значения сильно разбросаны относительно среднего. Распределение данных является «широким».
Например, если мы измеряем рост учеников в одном классе, дисперсия будет относительно небольшой. Если же мы измеряем рост всех жителей города (включая детей и взрослых), дисперсия будет значительно выше.

Формула для расчета дисперсии

Формула зависит от того, работаем ли мы со всей генеральной совокупностью (всеми возможными данными) или только с выборкой из нее.

Дисперсия для генеральной совокупности

Обозначается как $\sigma^2$ (сигма в квадрате) и рассчитывается по формуле:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}$

где:
$\sigma^2$ — дисперсия генеральной совокупности;
$x_i$ — каждое отдельное значение в совокупности;
$\mu$ (мю) — математическое ожидание (среднее значение) генеральной совокупности;
$N$ — объем генеральной совокупности (количество всех значений).

Дисперсия для выборки (выборочная дисперсия)

На практике мы чаще всего имеем дело с выборкой, а не со всей совокупностью. В этом случае используется так называемая несмещенная выборочная дисперсия, которая обозначается как $s^2$:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

где:
$s^2$ — выборочная дисперсия;
$x_i$ — каждое отдельное значение в выборке;
$\bar{x}$ — среднее арифметическое выборки;
$n$ — объем выборки (количество значений в ней);
$n-1$ — число степеней свободы. Деление на $n-1$ вместо $n$ (поправка Бесселя) делается для того, чтобы оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке была более точной (несмещенной).

Пример расчета выборочной дисперсии

Рассмотрим набор данных (например, оценки студентов): {3, 4, 5, 5, 8}.

Шаг 1. Найдем среднее арифметическое выборки ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 5 + 8}{5} = \frac{25}{5} = 5$

Шаг 2. Вычислим отклонение каждого значения от среднего ($x_i - \bar{x}$):
$3 - 5 = -2$
$4 - 5 = -1$
$5 - 5 = 0$
$5 - 5 = 0$
$8 - 5 = 3$

Шаг 3. Возведем каждое отклонение в квадрат ($(x_i - \bar{x})^2$):
$(-2)^2 = 4$
$(-1)^2 = 1$
$0^2 = 0$
$0^2 = 0$
$3^2 = 9$

Шаг 4. Суммируем квадраты отклонений:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 0 + 9 = 14$

Шаг 5. Разделим сумму на $n-1$:
$s^2 = \frac{14}{5-1} = \frac{14}{4} = 3.5$

Таким образом, выборочная дисперсия для данного набора данных равна 3.5.

Свойства и связь со стандартным отклонением

Дисперсия обладает несколькими важными свойствами:
- Она всегда неотрицательна ($s^2 \ge 0$).
- Основной недостаток дисперсии в том, что ее единица измерения — это квадрат единицы измерения исходных данных (например, если рост измерялся в сантиметрах, то дисперсия будет в квадратных сантиметрах), что затрудняет интуитивную интерпретацию.
- Для решения этой проблемы используют стандартное (среднеквадратическое) отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ или $s = \sqrt{s^2}$. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, и поэтому является более наглядной мерой разброса. В нашем примере стандартное отклонение будет $s = \sqrt{3.5} \approx 1.87$.

Ответ: Дисперсия — это ключевая статистическая мера, которая количественно описывает степень разброса или вариативности данных относительно их среднего значения. Она рассчитывается как среднее значение квадратов отклонений от среднего. Большое значение дисперсии указывает на то, что данные сильно разбросаны, а малое — на то, что они сгруппированы близко к среднему.

351 Найдите восьмой член арифметической прогрессии $(a_n)$, если

$a_7 + a_9 = 0,18.$

1) 0,36;

2) 0,18;

3) 0,09;

4) 0,9.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии. Согласно этому свойству, любой член прогрессии $a_n$ (начиная со второго) является средним арифметическим двух членов, равноудаленных от него, например, предыдущего и последующего.

В общем виде это свойство для членов $a_{n-k}$ и $a_{n+k}$, равноудаленных от $a_n$, можно записать так:

$a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$

В нашей задаче требуется найти восьмой член прогрессии, $a_8$. Члены прогрессии $a_7$ и $a_9$ как раз являются соседними для $a_8$ (здесь $n=8$ и $k=1$). Следовательно, $a_8$ является их средним арифметическим:

$a_8 = \frac{a_7 + a_9}{2}$

По условию задачи нам известно, что сумма седьмого и девятого членов равна 0,18:

$a_7 + a_9 = 0,18$

Подставим это значение в формулу для $a_8$:

$a_8 = \frac{0,18}{2} = 0,09$

Таким образом, восьмой член арифметической прогрессии равен 0,09.

Альтернативный способ:
Можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии.
$a_7 = a_1 + 6d$
$a_9 = a_1 + 8d$
Их сумма: $a_7 + a_9 = (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 14d = 0,18$.
Вынесем 2 за скобку: $2(a_1 + 7d) = 0,18$.
Заметим, что $a_8 = a_1 + 7d$.
Следовательно, $2a_8 = 0,18$, откуда $a_8 = 0,09$.

Среди предложенных вариантов ответа (1) 0,36; 2) 0,18; 3) 0,09; 4) 0,9) верным является вариант под номером 3.

Ответ: 0,09.

352 Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии ($a_n$),

если $a_{14} + a_{24} = -\frac{4}{5}$.

1) $-\frac{4}{5}$;

2) $-\frac{2}{5}$;

3) $-\frac{8}{5}$;

4) $-\frac{1}{5}$.

Для решения этой задачи можно применить свойство арифметической прогрессии или воспользоваться общей формулой n-го члена. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Использование свойства среднего члена арифметической прогрессии

Ключевое свойство арифметической прогрессии гласит, что любой член прогрессии является средним арифметическим равноотстоящих от него членов. Формально, для любых членов $a_k$ и $a_n$, член $a_m$, индекс которого $m$ является средним арифметическим их индексов ($m = \frac{k+n}{2}$), равен их среднему арифметическому:
$ a_m = \frac{a_k + a_n}{2} $, или $ 2a_m = a_k + a_n $.

В нашей задаче даны члены $a_{14}$ и $a_{24}$, а найти нужно $a_{19}$. Проверим, является ли индекс 19 средним арифметическим для индексов 14 и 24:
$ \frac{14 + 24}{2} = \frac{38}{2} = 19 $

Так как условие выполняется, мы можем применить это свойство:
$ a_{14} + a_{24} = 2a_{19} $

Согласно условию задачи, $ a_{14} + a_{24} = -\frac{4}{5} $. Подставим это значение в формулу:
$ 2a_{19} = -\frac{4}{5} $

Чтобы найти $a_{19}$, разделим обе части уравнения на 2:
$ a_{19} = \frac{-\frac{4}{5}}{2} = -\frac{4}{5 \cdot 2} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $

Способ 2: Использование общей формулы n-го члена

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Выразим $a_{14}$ и $a_{24}$ через эту формулу:
$ a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d $
$ a_{24} = a_1 + (24-1)d = a_1 + 23d $

Теперь подставим эти выражения в данное в условии равенство $a_{14} + a_{24} = -\frac{4}{5}$:
$ (a_1 + 13d) + (a_1 + 23d) = -\frac{4}{5} $
Приведем подобные слагаемые:
$ 2a_1 + 36d = -\frac{4}{5} $

Нам нужно найти $a_{19}$. Выразим его также через общую формулу:
$ a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d $

Сравним выражение для $a_{19}$ с полученным ранее уравнением $2a_1 + 36d = -\frac{4}{5}$. Если вынести 2 за скобки в левой части уравнения, получим:
$ 2(a_1 + 18d) = -\frac{4}{5} $

Заметим, что выражение в скобках, $a_1 + 18d$, и есть искомый член $a_{19}$. Таким образом, мы можем переписать уравнение как:
$ 2a_{19} = -\frac{4}{5} $

Разделив обе части на 2, снова получаем тот же результат:
$ a_{19} = -\frac{2}{5} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Искомый девятнадцатый член прогрессии равен $-\frac{2}{5}$, что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $-\frac{2}{5}$

353 Найдите $a_4 + a_6$ арифметической прогрессии $(a_n)$, если

$a_2 + a_8 = -20,1$.

1) -10,5; 2) -10,05; 3) -20,1; 4) -40,2.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Сначала выразим члены, данные в условии ($a_2$ и $a_8$), через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Теперь подставим эти выражения в известное нам равенство $a_2 + a_8 = -20,1$:

$a_2 + a_8 = (a_1 + d) + (a_1 + 7d) = 2a_1 + 8d$

Таким образом, мы получили, что $2a_1 + 8d = -20,1$.

Далее выразим искомую сумму $a_4 + a_6$ также через $a_1$ и $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Сложим эти выражения:

$a_4 + a_6 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 8d$

Мы видим, что выражение для суммы $a_4 + a_6$ полностью совпадает с выражением для суммы $a_2 + a_8$.

Следовательно, $a_4 + a_6 = 2a_1 + 8d = -20,1$.

Эту же задачу можно решить, используя свойство арифметической прогрессии: если для натуральных чисел $k, l, m, n$ выполняется равенство $k+l = m+n$, то и для членов арифметической прогрессии будет верно равенство $a_k + a_l = a_m + a_n$. В нашем случае $2+8 = 10$ и $4+6 = 10$, поэтому $a_2+a_8 = a_4+a_6$. Так как $a_2+a_8 = -20,1$, то и $a_4+a_6 = -20,1$.

Ответ: -20,1

354 Найдите $a_5 + a_{13}$ арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{10} + a_8 = \frac{3}{4}$.

1) $\frac{3}{2}$;

2) $\frac{3}{4}$;

3) $\frac{3}{8}$;

4) $\frac{3}{16}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии. Существует несколько способов решения.

Первый способ основан на использовании формулы n-го члена арифметической прогрессии. Формула имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность.

По условию задачи нам известно, что $a_{10} + a_8 = \frac{3}{4}$.

Выразим $a_{10}$ и $a_8$ с помощью формулы n-го члена:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Теперь подставим эти выражения в данное нам равенство:

$(a_1 + 9d) + (a_1 + 7d) = \frac{3}{4}$

Упростим полученное выражение, сложив подобные члены:

$2a_1 + 16d = \frac{3}{4}$

Далее нам нужно найти сумму $a_5 + a_{13}$. Выразим эти члены также через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Теперь найдем их сумму:

$a_5 + a_{13} = (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 16d$

Как мы видим, искомая сумма $a_5 + a_{13}$ равна тому же выражению $2a_1 + 16d$, что и данная в условии сумма $a_{10} + a_8$.

Следовательно, $a_5 + a_{13} = \frac{3}{4}$.

Второй способ основан на характеристическом свойстве арифметической прогрессии.

Свойство гласит: если для некоторых натуральных чисел $k, l, m, n$ выполняется равенство $k+l = m+n$, то для членов арифметической прогрессии также будет выполняться равенство $a_k + a_l = a_m + a_n$.

В нашей задаче:

Сумма индексов для данных членов: $10 + 8 = 18$.

Сумма индексов для искомых членов: $5 + 13 = 18$.

Поскольку суммы индексов равны ($10 + 8 = 5 + 13$), то равны и суммы самих членов:

$a_{10} + a_8 = a_5 + a_{13}$

Так как по условию $a_{10} + a_8 = \frac{3}{4}$, то и $a_5 + a_{13} = \frac{3}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Среди предложенных вариантов ответа это вариант под номером 2.

Ответ: $\frac{3}{4}$

355 Укажите формулу, которая задаёт арифметическую прогрессию ($a_n$).

1) $a_n = \frac{n}{n + 1}$;

2) $a_n = n^2 + 2$;

3) $a_n = 21 - 3n$;

4) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $(a_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии. То есть, для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.

Из этого определения следует, что разность между любыми двумя соседними членами арифметической прогрессии постоянна: $a_{n+1} - a_n = d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии. Раскрыв скобки, получим $a_n = a_1 + dn - d = dn + (a_1 - d)$. Это линейная функция от $n$ вида $a_n = kn + b$, где $k=d$ и $b = a_1 - d$.

Проверим каждую из предложенных формул на соответствие этому определению.

1) $a_n = \frac{n}{n+1}$
Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности:$d_n = a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{(n+1)+1} - \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}$$d_n = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$Разность зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

2) $a_n = n^2 + 2$
Формула n-го члена является квадратичной функцией от $n$, а не линейной.Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:$d_n = a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 + 2) - (n^2 + 2) = (n^2 + 2n + 1 + 2) - n^2 - 2 = 2n + 1$Разность $2n+1$ зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

3) $a_n = 21 - 3n$
Эта формула является линейной функцией от $n$, что соответствует виду $a_n = kn+b$, где $k=-3$ и $b=21$.Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:$d = a_{n+1} - a_n = (21 - 3(n+1)) - (21 - 3n) = (21 - 3n - 3) - (21 - 3n) = 18 - 3n - 21 + 3n = -3$Разность постоянна и равна $-3$. Следовательно, эта формула задает арифметическую прогрессию.

4) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
Это формула n-го члена геометрической прогрессии, где первый член равен 3, а знаменатель равен 2.Проверим разность между соседними членами:$a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3$$a_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2^1 = 6$$a_3 = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 2^2 = 12$$a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$$a_3 - a_2 = 12 - 6 = 6$Разность не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная формула, которая задает арифметическую прогрессию, — это $a_n = 21 - 3n$.

Ответ: 3

356 Укажите формулу, которая задаёт геометрическую прогрессию ($b_n$).

1) $b_n = \frac{2n + 1}{n}$;

2) $b_n = 3n^2$;

3) $b_n = 6n + 4$;

4) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

По определению, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $q$ — некоторое число, не равное нулю, называемое знаменателем прогрессии. Иначе говоря, отношение последующего члена к предыдущему должно быть постоянной величиной: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Проверим каждую из предложенных формул.

1) $b_n = \frac{2n + 1}{n}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = \frac{2(n+1) + 1}{n+1} = \frac{2n + 3}{n+1}$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{2n + 3}{n+1}}{\frac{2n + 1}{n}} = \frac{n(2n + 3)}{(n+1)(2n + 1)}$

Это отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Значит, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

2) $b_n = 3n^2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3(n+1)^2$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3(n+1)^2}{3n^2} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$

Это отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Значит, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

3) $b_n = 6n + 4$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 6(n+1) + 4 = 6n + 10$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{6n + 10}{6n + 4}$

Это отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=6$, но не геометрической.

4) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} = 3 \cdot 2^n$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

Отношение постоянно и равно 2. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3$ и знаменателем $q=2$.

Таким образом, единственная формула, которая задает геометрическую прогрессию, — это формула под номером 4.

Ответ: 4.

357 Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена

$a_n = -0.5n + 5$. Найдите $a_{14} - a_5$:

1) 0,5; 2) -9,5; 3) -4,5; 4) -2,7.

Для решения данной задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Прямое вычисление членов прогрессии

Данный способ предполагает нахождение значений каждого из членов прогрессии ($a_{14}$ и $a_5$) по заданной формуле $a_n = -0,5n + 5$, а затем вычисление их разности.

1. Найдем значение 14-го члена прогрессии, подставив $n=14$ в формулу:
$a_{14} = -0,5 \cdot 14 + 5 = -7 + 5 = -2$.

2. Найдем значение 5-го члена прогрессии, подставив $n=5$ в формулу:
$a_5 = -0,5 \cdot 5 + 5 = -2,5 + 5 = 2,5$.

3. Вычислим искомую разность $a_{14} - a_5$:
$a_{14} - a_5 = -2 - 2,5 = -4,5$.

Способ 2: Использование свойства разности арифметической прогрессии

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит как $a_n = dn + b$, где $d$ — это разность прогрессии. В нашей формуле $a_n = -0,5n + 5$ коэффициент при $n$ равен $-0,5$. Следовательно, разность прогрессии $d = -0,5$.

Разность между m-м и k-м членами арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $a_m - a_k = d(m-k)$.

Применим эту формулу для $a_{14}$ и $a_5$:
$a_{14} - a_5 = d \cdot (14 - 5) = d \cdot 9$.

Подставим найденное значение разности $d = -0,5$:
$a_{14} - a_5 = -0,5 \cdot 9 = -4,5$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Полученное значение -4,5 соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: -4,5.

358 Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена

$a_n = 3n - 4,2$. Найдите $a_1 \cdot a_8$.

1) 21,6;

2) 2,16;

3) -2,64;

4) -23,76.

По условию, арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 3n - 4,2$. Необходимо найти произведение ее первого и восьмого членов, то есть $a_1 \cdot a_8$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$.
Для этого подставим в заданную формулу значение $n=1$:
$a_1 = 3 \cdot 1 - 4,2 = 3 - 4,2 = -1,2$.

2. Найдем восьмой член прогрессии $a_8$.
Для этого подставим в заданную формулу значение $n=8$:
$a_8 = 3 \cdot 8 - 4,2 = 24 - 4,2 = 19,8$.

3. Вычислим произведение $a_1 \cdot a_8$.
Теперь перемножим найденные значения:
$a_1 \cdot a_8 = (-1,2) \cdot 19,8$.
Выполним умножение:
$1,2 \cdot 19,8 = 23,76$.
Так как один из множителей отрицательный, результат будет отрицательным:
$(-1,2) \cdot 19,8 = -23,76$.

Таким образом, произведение первого и восьмого членов прогрессии равно -23,76. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: -23,76.

359 Дана последовательность $a_n = -0,3n + 6$. Укажите номер её члена, равного $-12,3$.

1) 21;

2) 91;

3) 61;

4) 43.

По условию задачи дана последовательность, которая задается формулой $a_n = -0,3n + 6$. Необходимо найти номер члена этой последовательности, значение которого равно $-12,3$.

Чтобы найти искомый номер $n$, мы должны приравнять значение $n$-го члена $a_n$ к $-12,3$ и решить получившееся уравнение относительно $n$.

Составим уравнение:

$a_n = -12,3$

$-0,3n + 6 = -12,3$

Теперь решим это уравнение. Перенесем число 6 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$-0,3n = -12,3 - 6$

$-0,3n = -18,3$

Далее, чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $n$, то есть на $-0,3$:

$n = \frac{-18,3}{-0,3}$

При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным:

$n = \frac{18,3}{0,3}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножив их на 10:

$n = \frac{18,3 \times 10}{0,3 \times 10} = \frac{183}{3}$

Выполним деление:

$n = 61$

Таким образом, 61-й член последовательности равен $-12,3$. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 61

360 Дана последовательность $b_n = 2 \cdot 5^{n+2}$. Укажите номер её члена, равного 1250.

1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 6.

По условию задачи, n-ый член последовательности задан формулой $b_n = 2 \cdot 5^{n+2}$. Нам необходимо найти номер $n$ члена последовательности, значение которого равно 1250.

Для этого составим уравнение, приравняв формулу для $b_n$ к числу 1250:

$2 \cdot 5^{n+2} = 1250$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$5^{n+2} = \frac{1250}{2}$

$5^{n+2} = 625$

Теперь нам нужно представить число 625 как степень с основанием 5. Вспомним степени пятерки: $5^1 = 5$, $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

$5^{n+2} = 5^4$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n + 2 = 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $n$, вычтя 2 из обеих частей:

$n = 4 - 2$

$n = 2$

Следовательно, номер члена последовательности, равного 1250, равен 2.

Ответ: 2.