Номер 354, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

354 Найдите $a_5 + a_{13}$ арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{10} + a_8 = \frac{3}{4}$.

1) $\frac{3}{2}$;

2) $\frac{3}{4}$;

3) $\frac{3}{8}$;

4) $\frac{3}{16}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии. Существует несколько способов решения.

Первый способ основан на использовании формулы n-го члена арифметической прогрессии. Формула имеет вид:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность.

По условию задачи нам известно, что $a_{10} + a_8 = \frac{3}{4}$.

Выразим $a_{10}$ и $a_8$ с помощью формулы n-го члена:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Теперь подставим эти выражения в данное нам равенство:

$(a_1 + 9d) + (a_1 + 7d) = \frac{3}{4}$

Упростим полученное выражение, сложив подобные члены:

$2a_1 + 16d = \frac{3}{4}$

Далее нам нужно найти сумму $a_5 + a_{13}$. Выразим эти члены также через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Теперь найдем их сумму:

$a_5 + a_{13} = (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 2a_1 + 16d$

Как мы видим, искомая сумма $a_5 + a_{13}$ равна тому же выражению $2a_1 + 16d$, что и данная в условии сумма $a_{10} + a_8$.

Следовательно, $a_5 + a_{13} = \frac{3}{4}$.

Второй способ основан на характеристическом свойстве арифметической прогрессии.

Свойство гласит: если для некоторых натуральных чисел $k, l, m, n$ выполняется равенство $k+l = m+n$, то для членов арифметической прогрессии также будет выполняться равенство $a_k + a_l = a_m + a_n$.

В нашей задаче:

Сумма индексов для данных членов: $10 + 8 = 18$.

Сумма индексов для искомых членов: $5 + 13 = 18$.

Поскольку суммы индексов равны ($10 + 8 = 5 + 13$), то равны и суммы самих членов:

$a_{10} + a_8 = a_5 + a_{13}$

Так как по условию $a_{10} + a_8 = \frac{3}{4}$, то и $a_5 + a_{13} = \frac{3}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Среди предложенных вариантов ответа это вариант под номером 2.

Ответ: $\frac{3}{4}$